4 [2001 神戸大] (1)a,b,c を整数とする.x に関する 3次方程式x+ax2+bx+c=0が有理数の解を もつならば,その解は整数であることを示せ。ただし、正の有理数は1以外の公約数 をもたない2つの自然数m,n を用いて! と表せることを用いよ. m (2) 方程式x+2x2+2=0は, 有理数の解をもたないことを背理法を用いて示せ . [解答 mとnが1以外に公約数をもたない自然数であるとき, 「mとnは互いに素である」と いう。 (1) 方程式x+ax2+bx+c=0が有理数の解x = αをもつとする. α=0のとき,αは整数となる. α>0のとき, α= n (m,nは互いに素な自然数) とする. m x=αは方程式の解であるから a³+aa²+ba+c=0 3 2 ( m )³ + a( m )² + 6( m) + b m m ゆえにn+amn²+bmin+cm²=0 よってn=-man²+bmn+cm ² ) a, b, c, m, nは整数であるから,ndはmの倍数である. mとnは互いに素であるから、mとnも互いに素である. したがってm=1? ゆえに, αは整数となる. すなわち n - +c=0 2両辺にかける また, α<0のとき, α=-- とすると,同様の結果が得られる. m (2) 方程式x+2x2+2=0が有理数の解x =α をもつと仮定する. (1) から, αは整数である. a³ +2a²+2=0+5 a³ +2a² = -2 すなわち α2 (a+2)=-2 αは整数であるから (α, α+2)=(1,-2),(-1,-2) しかし,これを満たす α は存在しないから, 矛盾. したがって, 方程式x3+2x2+2=0は有理数の解をもたない.