知識 23. 平面上の速度の合成 幅Lの実験用の水槽と,静 水に対して一定の速さVで進む小さな模型の船がある。 図のように, 水槽内には壁面に平行に一定の速さひの 水流が発生している。 点0から船首を真向かいの壁の 点Pに向けて出発すると,船は壁面に垂直な方向から 30% 水流 30°をなす方向に進み,点Qに達した。 (2)~(3)ではVを用いずに答えよ。 (1) 船の速さVを, v を用いて表せ。 (2) PQ 間の距離を求めよ。 出発してから水槽を横切るのに要する時間と, (3)次に, 真向かいの点Pに到達するため, 上流に船首を向けて点0から出発した。 船 が水槽を横切るのに要する時間を求めよ。 (23. 獨協医科大改) て O

23. 平面上の速度の合成 解答 L L (1)(2)時間: 距離: (3) 3 v √3 2 v 指針 地面で静止している人から見ると, 静水における船の速度と水 流の速度を合成した速度で、船は水槽内を進む。 船の運動は, 水流に垂 直な方向, 平行な方向のそれぞれに分けて考え, 各方向における速度成 分に注目する。 (3)では, 合成速度が出発点から真向かいの点Pの向き となるように, 速度ベクトルを作図する。 解説 (1) 静水における船の速度をV, 水流の速度を とすると, 地面に対す る船の合成速度v1 は、 図1のように表 されるとのなす角度は30℃なの で, 1:2:√3 の直角三角形の辺の長さ の比から水流の速さと船の速さVと の関係は, v: V=1:√3 したがって, V=√30 合成 ① 速度 0 1 V 30° (2) v v 図 1 (2) 壁面に垂直な方向の運動を考えると, 船は速さ V(=√3v)で等速 直線運動をする。 求める時間をとすると, 等速直線運動の公式 「x=vt」 に移動距離L, 速さ√3vを代入して L 各速度の間には, v=V+の関係が成 り立つ。 平面運動は, 互いに垂 直な2つの方向に速度を 分解し、各方向における 直線運動に分けて考える ことができる。 L=√√3vxt₁ t₁ = √30 また,壁面に平行な方向の運動を考えると,船は速さで等速直線運 動をする。 PQ 間の距離をxとすると, 等速直線運動の公式 「x=vt] OP=√3 PQ となるの で, OP =Lから. L PQ= としてもよい。 に速さ, 時間 を代入して, 3 √30 L L x=vx == √30 √3 (3) 地面に対する船の合成速度が, 壁面 に対して垂直な方向になればよい。この ときの船の合成速度を v2 とすると, 静 水における船の速度 V, 水流の速度 を用いては,d2 = ' + 0 と示され る。 すなわち, 各速度ベクトルの関係は, 図2のような直角三角形となる。 三平方 の定理を用いて, 合成速度の大きさ v を求めると, v₂=√√ V² — v² = √(√ 3 v) ² – v² = √2 v V' 合成 速度 V 図 2 T₂ したがって,船は真向かいの点に向かって, 速さ√2の等速直 線運動をする。 「x=vt」 から, 求める時間を とすると, L=√2vxt₂ L t2=- 720 図2のように、速度ベ クトルを表す矢印の長さ の比が、速さの比となる。 を合成したもの ありが壁面 に対して垂直な向きにな るように矢印を描くと、 図2のベクトル図が得ら れる。