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[1] 83
■」 また
ある」 で
つくにな
の傾き
ただし,
に垂直
ないから､
をベクト
。
ある2直線
含まない
の値を求
点で交わ
重要 例題 83 共点と共線の関係
「異なる 3 直線
x+y=1
①, 3x+4y=1
②, ax+by=1
が1点で交わるとき, 3点 (1,1),(3,4), (a, b) は一直線上にあることを示せ。
基本 82
指針 2直線①,②の交点の座標を求め、その交点が直線 ③ 上にあるための条件式を導く。
そして,2点 (1,1),(3, 4) を通る直線上に点 (a,b) があることを示す。
また、別解のように,次の性質を利用する方法もある。
点(p, g) が直線ax+by+c=0 上にある
解答
① ② を連立して解くと
⇔ap+bg+c=0
⇔点(a,b) が直線 px+qy+c=0 上にある
3
x=3, y=-2
2直線① ② の交点の座標は (3,-2)
点 (3,-2) は直線 ③ 上にあるから③
(VS) 3a-26=1
また, 2点 (1,1), (3, 4) を通る直線の
方程式は
y-1=4=(x-1)
すなわち
3x-2y=1
④ から,点(α, b) は,直線3x-2y=1上にある。
よって, 3点 (1,1),(3,4), (a,b) は直線3x-2y=1上にあ
る。
つまり
(1)
(2)
練習
383
(a, b)
(3,4)
1
3x-2y=1
別解 原点を通らない3 直線 ① ② ③ が1点で交わるから,
その点をP(p, g) とすると,Pは原点にはならない。
3 直線 ① ② ③ が 点Pを通ることから
p+g=1,3p+4g=1, ap+bg=1
(1,1) 1
3
(3,-2)
p •1+α •1=1
か•3+q•4=1
p•a+q.b=1
であり
p = 0 または g = 0
ゆえに、方程式 px+gy=1
5,3点(1,1),(3,4), (a,b) は直線 ⑦上にある。
000
⑦ を考えると, ④~⑥か
Ca
係数に文字を含まない ①,
② を使用する。
+XZ
3a-26=1
⇔点 (α, b) は直線
3x-2y=1上にある。
<x=y=0のとき, ①, ②,
③ はどれも不成立。
点(p, g) が直線
x+y=1上にある
⇔p+g=1
⇔点 (1,1) が直線
px+gy=1上にある。
<p = 0 またはg ≠ 0 であるか
ら⑦は直線を表す。
異なる3直線
...... ②, ax+by=5
.... (3)
2x+y=5
①, 4x+7y=5
85が1点で交わるとき 3点 (2,1),(4,7), (a,b) は一直線上にあることを示せ。
Op.134 EX57
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3章
3 直線の方程式、2直線の関係
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