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第5章
第5章 確率
事後の確率
次のような問題を考えてみましょう.
例題
箱の中に 10 本のくじがあり,その中の3本が当たりである.まず太郎
くんが1本くじを引き,そのくじは元には戻さないで,次に次郎くんがく
じを引く、次郎くんが当たりくじを引いたという条件のもとで,太郎くん
が当たりくじを引いていた確率を求めよ.
思わず二度見,ならぬ二度読みしてしまう問題ですね、この問題は,何かが
「ちょっと変」なのです.
例えば,「太郎くんが当たりくじを引いたという条件のもとで」次郎くんが
当たりくじを引く確率というのであれば理解できます. 太郎くんが当たり
じを引いた段階で, 箱の中には9本中2本の当たりくじがあるのですから,こ
2
こから次郎くんがくじを引いて当たる確率は となります. これは問題あり
9
ませんね.
ところがこの問題が聞いているのは,「次郎くんが当たりくじを引いたと
いう条件のもとで」 太郎くんが当たりくじを引いた確率です. 普通の感覚では,
確率というのは「未だ起こっていないこと」について考えるものです.ところ
が,次郎くんが当たりくじを引いた段階では,すでに太郎くんはくじを引き終
わっているのです。いわば、「もう起こってしまったこと」についての確率を
考えている,ここがこの問題から生じている違和感の正体です.
この問題は,次のようなストーリーをつけて解釈すると納得できるかもしれ
ません.
太郎くんはくじを引いたのですが,それを誰にも見せずにどこかに隠して
しまった.
次に,次郎くんがくじを引くと, それは 「当たり」 だった.
このとき、 太郎くんが引いたくじが 「当たり」 である確率はどのくらいだ
ろうか.
このような後から起こったできごとから,それより前に起こったできごと
の確率について考えるような問題を, 事後の確率と呼んだりします。
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確率の考え方自体は今までと何ら変わりはありません。 面積図を使って、この
時系列が逆転する確率の問題は,解釈がなかなか難しいのですが、条件つき
問題を考えてみましょう.
「たりくじを引く」という事象をBとして,次のような面積図をかきました.
p235 で, 「太郎くんが当たりくじを引く」という事象をA,「次郎くんが当
310
10
710
9
A
B
A
「Aという条件のもとでBが起こる確率」というのは,下左図のように「事
「象A」の青枠の中に占める 「水色の網かけ部分」の面積比です(これはもちろ
ん となります). 同じように考えれば, 「Bという条件のもとでAが起こる
「確率」というのは, 下右図のように 「事象B」 の太枠の中に占める 「水色の網
「かけ部分」の面積比となるはずです.
3
10.
2
9
7
9
A
10
B
A
3
310
29
9
LA
B
A
10
71
1-3
P(B)=青枠の中の水色の網かけ部分の割合 PB(A)=太枠の中の水色の網かけ部分の割合
それを計算する
32
10 9
PB(A)=
3
2
7
+
10
9
3.2
=
6
=
2
3・2+7・3 27 9
1
10 3
となります。 このように考えにくい条件つき確率の問題も、面積図を用いる
と直感的にとらえることができ、とても理解しやすくなります。
