[IⅡ ABC261] S_nが24の倍数であることの真偽を調べる [2025 滋賀大]
nを自然数として, Snを
と定める。
S=1・3・5+3・5・7 +
......
+(2n-1)(2n+1)(2n+3)
(1) すべてのn に対して, S, は3の倍数であることを証明せよ。
(2) 数学的帰納法を用いて, S„=n(n+2)(2n2+4n-1) であることを証明せよ。
n
(3) 命題 「S, が偶数ならば S, は 24の倍数である」 の真偽を調べ,真ならば証明し,偽
ならば反例をあげよ。
解
(1) 自然数に対してak= (2k-1)(2k+1)(2k+3) とすると
n
=Σak
Sn=
k=1
①
ここで
ak=(2k-1)(2k+1)(2k+3)
=(2k-1)(2k+1) ・2k+(2k-1)(2k+1)・3
=(Zk-1)k (2k+1)+3(2k-1)(2k+1)
(2k-1) ・2k·(2k+1) は連続する3つの整数の積であるから3の倍数であり,
3(2k-1)(2k+1) も3の倍数である。
よって,ak は3の倍数である。ゆえに,① から, S, は3の倍数である。
