第3問 (必答問題(配点19) (1)正の定数とし, 3次関数 f(x)=x(x-k)(x-2k) について考える。 f(x) の導関数 f'(x)は f'(x)= ア イ kx+k² である。 方程式 f'(x) = 0 の解は である。 a x= I オ x= k カ キ I カ オ -k, B のとき,極大となる。 H 32- 2 カ オ -k とすると,f(x) は キ の解答群 0 0 ①k 2 2k ③a ④ B またf(x), f'(x) を xの多項式とみるとき, f(x) をf'(x)で割った余りは クケ サ k²x+ である。 コ シ (数学Ⅱ

(2) 1辺が20cmの正方形の厚紙を使って、直方体 の箱を作る。ただし,厚紙の厚さは考えないもの とする。 図1のように,灰色になっている四つの合同な 長方形の部分を切り落とし,その長方形の短い方 の辺の長さをxcm とする。 xml yem 同じ長方形の長い方の辺の長さをycmとし, 図1の太線で示した 「継ぎ目の部分」を図2のよ うに合わさるようにするとき 継ぎ目の部分 図1 y ス |x が成り立つ。 y ス xのとき,箱の容積をVcmとする 22 と、 Vはx を用いて 継ぎ目の部分 V: セ セx xx ソ x タチ 図2 ツテトナ = || と表され,Vの最大値は ヌ である。 W 2 6

D 各辺の 2 第3問 微分法・積分法 (1) f(x) の式を展開すると A f(x)=x-3kx+2kx したがって f'(x) =3x-6kx+2k K. B f'(x) = 0 とすると x= 3±√3 3k±√(-3k)2-3・2k -k 3 a = 3-√3 3 -k, B = 3 3+3kとすると,k>0より,α <βであるから, 3 f(x) の増減表は次のようになる。 A 微分の公式を使えるよ めに,式を展開する。 B (x")'=nxx-1 (c)' = 0(c)は定数) C C x a B 関数の増減や極値を講 f'(x) + 0 0 + 増減表をかく。 f(x) 極大 V 極小 よって, f(x) は x =α (③ のとき,極大となる。 また,f(x), f'(x) をxの多項式とみるとき, f(x) をf'(x)で割ると次 のようになる。 1 1 -x- 3 3 k 3x²-6kx+2k2)x-3kx2+2k2x x³-2kx²+24k²x xC 4 -kx²+ -kx2+2k2x- k³ これより,f(x) を f'(x)で割った余りは1/2x+2/3 (2)問題の図1に 7点 A, B, C, D,E, ycm ycm F,G を図3のようにとると、問題の 図2において7点の位置は図4のよう になり、2点B, Cは一致する。 xcm 図4より AB+CD = AD 図3より, AB=CD = x, AD =y であるから x cm x+x=y y=2x したがって AD = 2x DF =20-2x また, DE = GA であるから F 'D E B C 継ぎ目の部分 図3 ①の て

DE=/12 (20-2y)=10-2x 各辺の長さは正であるから D 2x>0 かつ20-2x>0 E B, C かつ 10-2x > 0 A したがって,xのとり得る値の範囲は 0 < x < 5 ••... ① 継ぎ目の部分 発展的に考える力 Vがん=5のときの8f(x)であるか ら (1) で求めた増減表の利用を考え る。 D 0 <3-√3 <3より 0<3√3<1 :10 0 < 5(3-3) <5 3 ①のとき、箱の容積 Vは V=DA・DE・DF =2x(10-2x) (20-2x) =8x(x-5)(x-10) これはk=5のときの(1)の8f(x)である。 k=5のとき a=5(3-√3) 8=5(3+√3) であるから, 0<α < 5,5 <βであり、 (1)の増減表より, ①におけるy=f(x)の グラフは右図の実線部分のようになる。 よって, f (x) の最大値はf(a) であるか ら,Vの最大値は8f(g) である。 ここで,(1)で行った割り算により Point 図 4 y=f(x) Ay 5 0 f(x)=f(x) (1/2x-1/2-2/2.5° x+2/25 [E] 3 さらに, f'(x) = 0 であるから, Vの最大値は Point 8f (a) = 8 {ƒ' (a) (³½³ a —— — — · 5 ) — — — — · 5² α + 2/3 . = 8.4.5% (-a+5) =8⋅ =8.0/3.52 {-5(3-3)+5} -8-3-52.5√3-2000/3 9 Vの最大値を求める設問では,やαの値を求めると計算が大変で ある。そこで,f'(a) =0であることと, (1) で行った割り算の商を Q(x), 余りをR(x) とすると f(x) =f'(x) Q(x)+R(x) ただし, (R(x)の次数) < (f'(x)の次数) と表されることから f(a) =f'(a)Q(a)+R(a) = R(a) となることを利用する。 3 <3+√3 より 1<3+yg 3+√3 3 5 < 5(3+3) 3 E 割り算の等式 多項式Aを多項式Bで割った商を Q 余りをRとすると A=BQ+R ただし, R=0 または (Rの次数) < (Bの次数)