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例題
a,
226 定積分の不等式の証明
1 不定積分と定積分 427
bを定数とするとき,次の不等式を証明せよ。
{(x+a)(x+b)dx}={(x+2)}{\{(x+64x}
考え方 左辺と右辺を計算し, (右辺) (左辺) 20 を証明する。
解答
{(x+a)(x+b)dx=(x+(a+b)x+ab}dx
*****
B
a+b
3+
-x2+abx
2
1+a+b
+ab
......①
3
2
ここで,①で6をαにおき換えると,
f(x+a) dx=1/3+
+a+a²
同様に、①でαをbにおき換えると,
S" (x + b)³ dx = 1 + b + b²
f(x+b2dx=132
したがって, ①〜③より,
{{(x+a) dx}{{(x+bidx}_{S (x+a)(x+b)dx}
62+6+
= (a²+a+13) (b²+b+13) - (ab+a+b+1)²
2
a 62 b
3
=a²b²+ a²b++ ab²+ab +33 +3 +3 + 1
12
2
9
{ab² + (a+b)² 1
+ 1+ ab(a+b)+a+b+ ab
4
1
9
a2ab+b²(a²-2ab+b²)
=1/20-6220
よって、
a-
12
(t)dt=a (E とおく
{(x+a)(x+ +b)dx}={f (x+a) dx}{S (x+b)dx}
(等号は a=6のとき成り立つ)
S(x+a)(x+b)dxの
積分の結果を利用して、
計算量を減らしている。
第7
等号は a=b のとき
成り立つ.
■) 不等式 {Sf(x)g(x)dx} = [S(f(x)dx (g(x)dx] (a<b)をシュワルツの不等
式という (証明は数学ⅢIで学習する)
(1)
任意の2次関数 f(x)=ax+bx+c について,次の不等式を証明せよ。
h.432 5
