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重要 例題 97 関数とその逆関数のグラフの共有点
00000
f(x)=x²-2x+k (x≧1) の逆関数をf-l(x) とする。 y=f(x) のグラフと
y=f-l(x)のグラフが異なる2点を共有するとき, 定数の値の範囲を求めよ。
基本95
指針 逆関数 f(x) を求め, 方程式 f(x) =f'(x) が異なる2つの実数解をもつ条件を考えても
解答
よいが、無理式が出てくるので処理が煩雑になる。ここでは,逆関数の性質を利用して
次のように考えてみよう。
共有点の座標を (x,y) とすると, y=f(x) かつy=f'(x) である。
ここで、性質y=f(x)x=f(y)に着目し、連立方程式 y=f(x).
x=f(y) が異なる2つの実数解 (の組) をもつ条件を考える。 x,yの範囲にも注意。
共有点の座標を (x, y) とすると
y=f(x) かつy=f-1(x)
y=f-1(x) より x=f(y) であるから, 次の連立方程式を考える。
y=x²-2x+k (x≧1)
①,
x=y2-2y+k(y≧ 1 )
②
①-②から
y-x=(x+y)(x-y)-2(x-y)
したがって
(x-y)(x+y-1)=0
xctg≧2
x1,y≧1であるから x+y-1≧1 ゆえに x=y
よって, 求める条件は, x=x²-2x+k すなわち x2-3x+k=0
が x≧1の異なる2つの実数解をもつことである。
[参考] y=x2-2x+k とすると
x²-2x+k-y=0
よってx=1±√12-(k-y)
x≧1からx=√y-k+1+1
xとyを入れ替えて,逆関数
は-1(x)=√xk+1+1
A 逆関数f-1(x) の値域は,
関数 f(x) の定義域と一致す
るからy≧1
B 放物線とx軸がx≧1の
g(x)=x2-3x+kとし, g(x)=0の判別式をDとすると範囲の異なる2点で交わる条
[1] D>05 (-3)²-4•1•k>0+x)=(0-
場合
y | | y=g(x)
件と同じ。
よって 9-4k>0
ゆえにん<-
k<
(2)の実(=d
9
4
③)
[2] 放物線y=g(x) の軸は直線x=1で, 1<
=123で1<2である。
[3]g(1) ≧0 から 12-3・1+k≧0 よってk≧2.. ④
.....
入れ替え
0
③④の共通範囲をとって 2≦k<-
9
4
g
32
x
