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分解。
分解。
さいように
因数分解ができるための条件
重要例題 44
基本43
x2+3xy+8y2-3-5y+kがx,yの1次式の積に因数分解できるとき,定数k
の値を求めよ。 また, その場合に,この式を因数分解せよ。
〔東京薬大〕
指針 与式が x,yの1次式の積の形に因数分解できるということは,
(与式)=(ax+by+c)(px+qy+r)
解答
の形に表されるということである。 恒等式の性質を利用 (検討 参照) してもよいが,ここで
は,与式をxの2次式とみたとき, = 0 とおいたxの2次方程式の解がyの1次式で
なければならないと考えて,kの値を求めてみよう。
ポイントは,解がyの1次式であれば,解の公式における内がyについての完全平
方式となることである。
P=x2+3xy+2y2-3x-5y+kとすると
P=x2+3(y-1)x+2y2-5y+k
P=0を x についての2次方程式と考えると,解の公式から
x2の係数が1であるから,
xについて整理した方がら
くである。
x=-3(y-1)±√9(y-1)2-4(2y2-5y+k)
2
_-3(y-1)±√y2+2y+9-4k
2
Pがxyの1次式の積に因数分解できるためには、この解が
1次式で表されなければならない。
y
よって、根号内の式y2+2y+9-4k は完全平方式でなければな
らないから,y2+2y+9-4k=0 の判別式をDとすると
D/4=12-(9-4k)=4k-8=0
ゆえに
この2つの解をα β とす
ると, 複素数の範囲で考え
て
P=(x-α)(x-B)
と因数分解される。
k=2
< 完全平方式
⇔=0が重解をもつ
⇔判別式 D=0
-3(y-1)±√(y+1)。 _ -3y+3±(y+1)
このとき
x=
2
すなわち
x=-y+2, -2y+1
よって
2
P={x-(-y+2)}{x-(-2y+1)}=(x+y-2)(x+2y-1)
恒等式の性質の利用
x2+3xy+2y2=(x+y)(x+2y) であるから,与式がx、yの1次式の積に因数分解できるとする
と, (与式)=(x+y+a)(x+2y+b) ・・・・・・① と表される。
①は,xとyの恒等式であり, 右辺を展開して整理すると
(与式)=x2+3xy+2y2+(a+b)x+(2a+b)y+ab となるから、両辺の係数を比較して
これから,kの値が求められる。
a+b=-3,2a+b=-5, ab=k
A
練習 次の2次式がxyの1次式の積に因数分解できるように、定数kの値を定めよ。
+44 また、その場合に,この式を因数分解せよ。
(1)x2+xy-6y2-x+7y+k
(2)2x2-xy-3y²+5x-5y+k
73
2章
9解と係数の関係、解の存在範囲
