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重要 例題
関数とその逆関数のグラフの共有点(2)
00000
f(x)=x²-2x+k(x≧1) の逆関数をf'(x) とする。 y=f(x) のグラフと
|y=f'(x) のグラフが異なる2点を共有するとき, 定数んの値の範囲を求めよ。
基本10
指針 逆関数f'(x) を求め, 方程式f(x)=f(x) が異なる2つの実数解をもつ条件を考え
てもよいが、無理式が出てくるので処理が煩雑になる。ここでは,逆関数の性質を利
用して、次のように考えてみよう。
共有点の座標を (x, y) とすると, y=f(x) かつy=f-1 (x) である。
ここで,性質 y=f'(x)=x=f(y) に着目し,連立方程式 y=f(x), x=f(y)
が異なる2つの実数解 (の組) をもつ条件を考える。 x, yの範囲にも注意。
共有点の座標を (x, y) とすると
tv=
解答
y=f(x) かつy=f-1(x)
参考 y=x2-2x+kとす
ると
y=f-1(x) より x=f(y) であるから,次の連立方程式を考
よって
える。
y=x2-2x+k(x≧1)
①,
x=y2-2y+k(y≧1)
① ② から
y-x=(x+y)(x-y)-2(x-y)
したがって (x-y)(x+y-1)=0
x1,y≧1であるから x+y-1≧1
ゆえに x=y
よって, 求める条件は, x=x²-2x+k すなわち
x2-3x+k=0が x≧1 の異なる2つの実数解をもつこと
である。 B
すなわち, g(x)=x2-3x+kとし, g(x) =0の判別式をD
こ
とすると、次のことが同時に成り立つ。
[1] D> 0
x2-2x+k-y= 0
x=1±√12-(k-y)
x≧1から
x=√y-k+1+1
xとyを入れ替えて,逆関
数は
f1(x)=√x-k+1 +1
A 逆関数f(x) の値域
は 関数 f(x)の定義域と
一致するから y≧1
B 放物線とx軸がx≧1
の範囲の異なる2点で交わ
る条件と同じ。
y
y=g(x)
[2] y=g(x) の軸がx>1の範囲にある
[3]g(1) 20
[1] D=(-3)2-4・1・k=9-4k
={(x)}(1)
9
よって 9-4k>0
ゆえに
k<
3
4
3
3
+
0
3
[2] 軸は直線 x =
x=1/2で12/28>1である。
[3]g(1)≧0から
12-3.1+k≧0
よって k≧2
4.
③④の共通範囲をとって
9
2≤k<-
(S) or N
4
