to
1・1+2・2+3・22+......+n2"-1
=(n-1)2"+1
はと
...... ①
が成り立つことを数学的帰納法により示す.
〔I〕n=1のとき,
①の左辺と右辺はともに1であるから,
①が成り立つ.
[II] n=kのとき,
①が成り立つと仮定する. このとき,
1・1+2・2+3・22+••••••
+k.2k-1
最大
=(k-1)2+1
の両辺に, (k+1) ・2を加えると,
2<,2
1・1+2・2+3・2°+…+h・2-1+(k+1) ・2
=(k-1)・2+1+(k+1) ・2k
=2k2k+1
=k2k+1+1
={(k+1)-1}.2k+1+1
となり, n=k+1のときも①が成り立つ.
よって, [I], [II] より すべての自
然数nについて, ①が成り立つ.
NAS) AS-(1-AS) A·CT S∙I