✨ ベストアンサー ✨
そこはあまり気にしなくてもいいです。
左の問題をkをk+1にして示すやり方でもできます。
また、右の問題を両辺に〜を加えて示すやり方でもできます。なので、やりやすいほうを選んで示してください。今回の問題だと、右の問題を両辺に〜を加えるやり方だとめんどくさいです。
一応それぞれの証明を載せておきます。([Ⅱ]のみ)
・左の問題
1 • 1 + 2 • 2 + 3 • 2² + ･･･ + k • 2^(k-1) = (k-1)• 2^k + 1 ･･･ ①
と仮定します。このとき、①より
1 • 1 + 2 • 2 + 3 • 2² + ･･･ + k • 2^(k-1) + (k+1) • 2^k - (k • 2^(k+1) + 1)
= (k-1)• 2^k + 1 + (k+1) • 2^k - (k • 2^(k+1) + 1)
= (k-1)• 2^k + (k+1) • 2^k - k • 2^(k+1)
= (k-1)• 2^k + (k+1) • 2^k - 2k • 2^k
= (k - 1 + k + 1 - 2k) • 2^k
= 0
よって
1 • 1 + 2 • 2 + 3 • 2² + ･･･ + k • 2^(k-1) + (k+1) • 2^k = (k • 2^(k+1) + 1)
となりn = k + 1のときも成り立つ。
・右の問題
1 + 1/2 + 1/3 + ･･･ + 1/k ≧ 2k/(k + 1) ･･･ ②
が成り立つと仮定する。②の両辺に1/(k + 1)を加えると、
1 + 1/2 + 1/3 + ･･･ + 1/k + 1/(k + 1) ≧ 2k/(k + 1) + 1/(k + 1)
右辺を計算すると
2k/(k + 1) + 1/(k + 1) = (2k + 1)/(k + 1)
= (2k + 1)(k + 2)/(k + 1)(k + 2)
≧ (2k² + 5k + 2)/(k + 1)(k + 2)
≧ (2k² + 4k + 2)/(k + 1)(k + 2)
= 2(k + 1)²/(k + 1)(k + 2)
= 2(k + 1)/(k + 2) = 2(k + 1)/((k + 1) + 1)
となるのでn = k + 1でも成り立つ。
確かに右辺は変わりますが今回は大丈夫です。式変形を行えばどちらでも解けます。
先に言うと、帰納法を使った不等式証明のときはkをk+1にして示したほうがやりやすいです。
n = kでの仮定で1 + 1/2 + ･･･ + 1/k ≧ 2k/(k+1)が成り立つとしています。両辺に1/(k+1)を加えた不等式
1 + 1/2 + ･･･ + 1/k + 1/(k+1) ≧ 2k/(k+1) + 1/(k+1)
も成り立ちます。そして、示したいのはn = k + 1の時の
1 + 1/2 + ･･･ + 1/k + 1/(k+1) ≧ 2(k+1)/(k+2)です。
なので、2k/(k+1) + 1/(k+1) ≧ 2(k+1)/(k+2)を示れば証明終了です。最初に答えたように、この不等式は左辺を無理やり変形すれば示せます。しかし面倒くさいです。
なので、帰納法の証明では
等号の証明は両辺に〜を加えるやり方、
不等式の証明はkをk+1にするやり方
としてやるほうがやりやすいです。
理解出来ました✨ありがとうございます🙇🏻♀️
回答ありがとうございます🙇🏻♀️
右の問題で、kをk+1にしたときと1/k+1を加えたときで左辺は変わりませんが、右辺は変わると思うのですが、それは問題ないのでしょうか
お願いいたします🙏