E 相加平均と相乗平均
第2節 等式・不等式の証明 | 37 |
相加平均と相乗平均の大小関係を利用して、不等式の証明ができるよ
目標
うになろう。
(p.3836)
第1章
証明
ここまで、 実数の平方の性質や、絶対値の性質などを利用して不等式
を証明してきた。 不等式の証明に利用できる, 実数の他の性質を調べて 5
みよう。
2つの実数a,bについて,
a+b
をaとbの相加平均という。
2
また,a>0,6>0 のとき, ab をαとの相乗平均という。
a>0,6>0 のとき, 相加平均と相乗平均の大小関係を考えよう。
平方の差を考えると
2
2
(a+b)² - (√ab)²= a²-2ab+b² _ (a−b)²
=
≥O
4
4
よって
2
a + b ) ³ = ( √ a b ) =
2
M
a+b
>0, √ab>0 であるから
2
2
a+b= √ ab
等号が成り立つのは, a-b=0 すなわち a=b のときである。
したがって、次のことがいえる。
相加平均と相乗平均の大小関係
a>0,6>0 のとき
10
15
a+bzvab
この不等式は
2
a+b≥2 ab
等号が成り立つのは,a=bのときである。
の形で使うことが多い。
注意 このことは, a≧0620 のときにも成り立つ。
20
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