数Aの問題です 解答では四角形ABCDがこのような形になっていますが 私はその下に書いてるような形で解いてみると 模範解答の角度と違う結果になってしまいます どうしてでしょうか

5 3章 5 14 44円と直線、2つの円の位置関係 000 F を引き が成り立 島修道大] それぞ つの円 とする。 要 90 る。 F より、 使う。 重要 例題 90 方べきの定理と等式の証明 00000 円に内接する四角形 ABCD の辺 AB, CD の延長の交点をE, 辺BC, AD の延 長の交点をFとする。 E, F からこの円に引いた接線の接点をそれぞれS, Tと するとき,等式 ES2+FT'=EF2 が成り立つことを証明せよ。 指針 左辺の ES', FT' は, 方べきの定理ES" EC・ED, FT FA・FD に現れる。 しかし、右辺のEF2 については同じ ようにはいかないし, 三平方の定理も使えない。 そこで,EとFが関係した円を新たにさがしてみよう。 まず,Eが関係した円として, △ADE の外接円が考えられる。 そして、この円と EF の交点をG とすると, 四角形 DCFG も 円に内接することが示される。 よって、 右図の赤い2円に関し, 方べきの定理が使える。 CHART 1点から 接線と割線で方べきの定理 解答 方べきの定理から ES2 EC・ED FT2=FA・FD △ADE の外接円とEFの交点をG とすると ∠EGD= ∠BAD E G B S T 基本89 443 ③ B また、四角形ABCD は円に内接する から <DCF = ∠BAD F 円に内接する四角形の内角 ...... はその対角の外角に等し さい。 ③ ④ から∠EGD= ∠DCF ↓ ゆえに、四角形 DCFG も円に内接する。 よって, 方べきの定理から A 1つの内角が, その対角の 外角に等しい。 EC・ED=EF・EG ⑤, FA・FD=FE・FG ⑥ B ①⑤から ES2=EF・EG ②⑥から FT2=FE・FG したがって ES2+FT'=EF(EG+FG)=EF2 <EG+FG=EF

汚くて申し訳ないです💦 inf（写真下部）について質問です。 文章の理解はできたのですが、★部分をもう少し具体例で理解したいと思いました。例えばどんなものがあるのか教えていただけませんか？

トを問 4で外接する2円 0, 0' がある。 Aにおける共通接線上 点A の点Bを通る1本の直線が円0と2点C, Dで交わり, B 00000 明せよ。 を通る他の直線が円 0′ と 2点E, F で交わるとする。こ のとき, 4点C, D, E, F は1つの円周上にあることを証 OA OXF p.394,395 基本事項 3. 基本 82 403 CHART & SOLUTION 1つの円周上にあることの証明 方の定理の逆 4点が1 から、「べきの定理の逆」 を利用する方針で考える。 1つの円周上にあることは, 「円周角の定理の逆」, 「内角と対角の和が180°」, 「方べ の定理の逆」のいずれかを利用すれば示せるが,この問題では角度についての情報がな 4点C,D,E,F を通る円をかいてみると, 示すべきことが BC BD BE BF であること が見えてくる。 円0において,方べきの定理から B E ← 接線 BA, 割線 BD ←接線BA, 割線 BF BC・BD=BA2 円 0′において, 方べきの定理から 0 よって BE・BF=BA2 BC・BD=BE・BF ゆえに、方べきの定理の逆から、共 3 10 円と直線、2つの円 4点C,D,E,Fは1つの円周上にある。 に 内 inf 方べきの定理 PA・PB=PC・PD において PA・PB の値をべきという。ここで,円の半径をr とすると, [1] A 右図の [1] のとき PA・PB=PC・PD=(CO+OP)・(QD-QP) =(z+OP)(r-OP)=-QP2 [2] C D OP B B 右図の [2] のときは,同様の計算で PA・PB=OP2-r2 したがって, PA・PBの値は|OP2-2に等しい。OP2は, 点Pが固定されていれば一定の値である。すなわち 定点Pを通る直線が0と2点A,Bで交わるとき, PA・PBの値は常に一定である。 PRACTICE 90 金 円に、円外の点Pから接線 PA, PB を引き, 線分AB と PO の交点を通る円Oの弦 CD を引く。 このとき, 4点P,C, ODは1つの円周上にあることを証明せよ。 ただし, C,Dは P 足理 26 MI D B

数学Aの青チャート97について質問です。初見でも模範解答のように着目できるような思考過程を教えて欲しいです。 写真にあげているところまでは考えつきました。

97 万べきの定理と等式の証明 00000 円に内接する四角形ABCDの辺AB, CD の延長の交点をE, 辺BC, ADの延 長の交点をFとする。 E, F からこの門に引いた接線の接点をそれぞれS, Tと 基本 するとき、等式 ES"+FT-EF" が成り立つことを証明せよ。 指針 解答 左辺のES', FT は､方べきの定理 ESEC･ED, FT-FA・FDに現れる。 しかし,右辺のEF" について は同じようにはいかないし、 三平方の定理も使えない。 そこで,EとFが関係した円を新たにさがしてみよう。 まず、Eが関係した円として, ADE の外接円が考え られる。 そして、この円とEF の交点をG とすると､四角形 DCFG も円に内接することが示される。 よって、右図の赤い2円に関し方べきの定理が使える。 CHART 1点から 接線と割線で方べきの定理 方べきの定理から ES"=EC・ED FT"=FA·FD △ADE の外接円とEF の交点を G とすると ∠EGD=∠BAD また、四角形 ABCD は円に内接 するから <DCF=∠BAD ①⑤ から ②⑥ から したがって 4 ∠EGD=∠DCF ゆえに、四角形 DCFG も円に内接する。 よって方べきの定理から B EC・ED=EF・EG ...... ⑤, FA・FD=FE・FG・･・･・・ ES2=EF･EG FT"=FE･FG ES2+FT"=EF (EG+FG) = EF2 が成り立つことを証明せよ。 習 右の図のように, AB を直径とする円の一方の半円上に ④97点Cをとり、 他の半円上に点Dをとる。 直線AC, BD の 交点をPとするとき,等式 AC・AP-BD・BP=AB2 <1点から接線と割線で、 方べきの定理 p.496 EX61 円に内接する四角形の内 角は、その対角の外角に 等しい。 1つの内角が、その対角 の外角に等しい。 <EG+FG=EF D B 491 3 A 円と直線、2つの円の位置関係 紹介 の実 まで カ な に 2 |

90. 指針の図では四角形ADGEとCDFGが円に内接すると考える解き方が書かれていますが、全ての四角形は円に内接できるのですか？

引き, り立 道大] れぞ の円 。 り, 0 る。 0 う。 ÉÉÉ 重要 例題 90 方べきの定理と等式の証明 |円に内接する四角形 ABCDの辺AB, CD の延長の交点をE, 辺BC, AD の延 長の交点をFとする。 E, F からこの円に引いた接線の接点をそれぞれS, Tと するとき,等式 ES2+FT2=EF2 が成り立つことを証明せよ。 指針 左辺の ES', FT" は, 方べきの定理 ES' = EC･ED, FT2=FA･FDに現れる。 しかし,右辺のEF2については同じ ようにはいかないし, 三平方の定理も使えない。 そこで,EとFが関係した円を新たにさがしてみよう。 まず,Eが関係した円として, △ADE の外接円が考えられる。 そして,この円とEF の交点をG とすると, 四角形 DCFG も 円に内接することが示される。 よって、右図の赤い2円に関し, 方べきの定理が使える。 121 METS CHART 1点から 接線と割線で方べきの定理 [SPLAT 答 方べきの定理から ES2=EC･ED FT"=FA･FD AADE の外接円と EF の交点を G とすると (3) <EGD=∠BAD また、四角形 ABCD は円に内接する から <DCF=∠BAD ③ ④ から ①, ...... ①. ⑤から ②⑥から したがって ∠EGD=∠DCF ゆえに、四角形 DCFG も円に内接する。 ------ よって、方べきの定理から B EC･ED=EF・EG ・・・・・・ FA･FD=FE・FG ⑤, ES2=EF･EG FT'=FE・FG ES2+FT"=EF (EG+FG) = EF2 1253-663101 ☆ T E F B パッ 練習 右の図のように, AB を直径とする円 0 の一方の半円上に 90点をとり、 他の半円上に点Dをとる。 直線AC, BD の S Do <EG+FG=EF D 基本 89 (**) 011000 E 円に内接する四角形の内角 は、その対角の外角に等し い。 SORER O 1つの内角が,その対角の 外角に等しい。 G P の位置関係

89.2 2の解答の図での赤の直線と黒の直線はそれぞれ何を表しているのですか？

442 の 基本例題89 方べきの定理とその逆を利用した証明問題 ①①000 (1) 鋭角三角形ABC の各頂点から対辺に, それぞれ垂線 AD, BE, CF を引き それらの交点(垂心)をHとするとき, AH HD=BH・HE=CH ・HF が成り立 類 広島修道大 つことを証明せよ。 (2) 2点 Q R で交わる2円がある。 直線 QR 上の点Pを通る2円の弦をそれぞ れ AB, CD (または割線を PAB, PCD) とするとき, A, B, C, D1つ 周上にあることを証明せよ。 ただし, A, B, C, D は一直線上にないとする。 440 基本事項 ① ②2 重要90 指針(1) 直角2つで円くなる により, 4点B,C,E,F は1つの円周上にある。 ゆえに, 弦 BE と弦 CF で 方べきの定理 が利用できて BH ・HE=CH・HF 同様にして, AH・HD=BH・HE または AH･HD=CH･HF を示す。 (2) PA･PB=PC・PD ・・・・・・ (*) であることが示されれば, 方べきの定理の逆により、 題意は証明できる。 ! よって, (*)を導くために, 弦AB と弦 QR, 弦 CD と弦 QR で方べきの定理を使う。 ゆるめ 【CHART 接線と割線, 交わる2弦・2割線で方べきの定理 Senpo. 解答 (1) ∠BEC=∠BFC = 90° であるから, 4点B, C, E, F は1つの円周上に ある。 よって, 方べきの定理により BH ・HE = CH・HF (3) 1 TE 同様に, 4点A, B, D, E は 1つの AFB 円周上にあるから AH ・HD=BH ・HE ① ② から (2) 2円について AH ･HD=BH・HE=CH・HF 89 PA・PB=PQ・PR, PC・PD=PQ・PR PA・PB=PC・PD ゆえに よって, A, B, C, D は 1つの円周 上にある。 B A A F C E B C D PBS)5453 14-10-89-12 方べきの定理 直角2つで円くなる D 弦BEと弦CF に注目。 <∠ADB=∠AEB=90° 弦 AD と弦BE に注目。 方べきの定理の逆 (1) 円に内接する四角形 ABCD の対角線の交点EからAD に平行線を引き, 直 線BCとの交点をFとする。 このとき, F から四角形ABCD の外接円に引 た接線FGの長さは線分FFの長さに 7 ( に し

(1）なぜ三平方でといては行けないのですか？

364 基 本 例題 84 方べきの定理 LAD=6,BC=8,/CA=10 の直角三角形ABCの外接 円の中心を0とする。 図のように, 辺BC上に点Pを とり,線分 AP の延長と円Oとの交点をQとし,Qに おける円Oの接線と辺ABの延長との交点をRとする。 (1) BR=4 のとき, 線分 QR の長さを求めよ。 (2) BP=6のとき, 線分PQの長さを求めよ。 重要 88 CHART SOLUTION 4535 =80 かっせん かっせん 交わる2弦 2本の割線 接線と割線には方べきの定理 L√√√R = 45 方べきの定理は,次の図のように3つの場合に適用できる。 [1] 交わる 2 弦 [2] 2 本の割線 [3] 接線と割線 D |p.357 基本事項 3 B D 110 第題な C C

BT＝1ってどこからくるのですか？ 教えてください！ 線で引いた所です

) 接弦定理を利用して,ZBTP=ZBPT を示す。 2円と接線·割線 があるから,方べきの定理PA·PB=PT° を適用。 方べきの定理の利用 OOOO0 内題 88 RAT=30° であるとき の定理を利用して, 技線PTの長さを求めよ。 A AD.440 基本事項 かっせん ATABにおいて, ZT=90", 2BA7=30°であるから LABT=60°, BT=- た BTP=ZBAT=30° ZBPT=60°-ZBTP=30° ゆえに ZBTP=ZBPT A 60。 (接弦定理 (ABTPの外角[ZABT) =(隣り合わない内角 [ZBTP, ZBPT]の和) よって PB=BT=1 方べきの定理により ゆえに(2+1)-1=PT PT>0であるから PA-PB=PT よって PT=3 PT=/3 APA=AB+BP

教えてください

AB 点をFとする。このとき, Fか 90 方べきの定理と等式の証明 重要例題 /円に内接する四角形 ABCD の辺AB, CD の延長の交点をE, 辺 BC, AD の延 /するとき,等式ES+FT°=EF? が成り立つことを証明せよ。 針> 左辺の ES°, FT? は, 方ベきの定理 ES=EC·ED, |長の交点をFとする。E, Fからこの円に引いた接続線の接点をそれぞれS, Tと \き、 立 大) そ 基本 89 FT=FA·FD に現れる。しかし,右辺の EF? については同じ ようにはいかないし,三平方の定理も使えない。 そこで, EとFが関係した円を新たにさがしてみよう。 まず, Eが関係した円として, AADE の外接円が考えられる。 そして、この円と EF の交点をGとすると, 四角形 DCFG も 円に内接することが示される。 よって,右図の赤い2円に関し,方べきの定理が使える。 E 0 S B T CHART 1点から 接線と割線で 方べきの定理 解答 方べきの定理から ES=EC·ED FT=FA·FD AADE の外接円と EF の交点をG E O, とすると (円に内接する四角形の内角 は,その対角の外角に等し ZEGD=ZBAD B また,四角形 ABCD は円に内接する から ZDCF=ZBAD い。 周円 ①1 3, のから ゆえに,四角形 DCFG も円に内接する。 よって,方べきの定理から ZEGD=ZDCF TIE.a 1つの内角が,その対角の 外角に等しい。 6, 6 ガゼっrうに有るのか? EC·ED=EF·EG FA·FD=FE·FG 0, Sから 2, 6 から ES=EF·EG FT°=FE·FG ES+FT°=EF(EG+FG)=EF° (EG+FG=EF したがって (本基)09100 といり、 共瀬機線. 1F Joe kso要のちへ式 [ach.4] の ro

⑴の3行目のBT=1っていうのは三角比を使ってるんですか？

本例題88 方べきの定理の利用 分 AB を直径とする半径1の円0があり,右の図のように 分 ABの延長上の点Pからこの円に接線 PT を引く。 441 DOOO と T oo |LBAT=30° であるとき A がこ | PB=BT=1 であることを示せ。 方べきの定理を利用して、接線 PTの長さを求めよ。 B P |p.440 基本事項 [ >円の円周と異なる2点で交わる直線や半直線を,その円の 割線 という。 (1) 接弦定理を利用して,ZBTP=ZBPT を示す。 (2) 円と 接線·割線 があるから,方べきの定理PA·PB=PT° を適用。 かっせん 3章 14 CHART 1点から 接線と割線 で 方べきの定理 示 こる 答 |ATABにおいて, ZT=90°, 2BAT=30° であるから T- 30° 60°% ZABT=60°, BT=1 また ZBTP=ZBAT=30° A P ZBPT=60°-ZBTP=30° ゆえに ZBTP=ZBPT よって PB=BT=1 方べきの定理により 接弦定理 4(ABTPの外角[ZABT]) =(隣り合わない内角 [ZBTP, ZBPT]の和) /B ゆえに PA·PB=PT? (2+1)-1=PT? PT>0であるから よって PT=3 PA=AB+BP PT=/3 B する 円と直線、2つの円の位置関係 o0E

この方べき定理の逆は方べき定理のどういう条件を満たして方べき定理の逆が使えるようになったのでしょうか？？

を利用した証明 D の交点名から BC に つの 長どの交点をF とする> 平行な直線を引き, また, でからこの円に接線FG を引く。 ご FC=EF であることを証功せよゃ 0 編)88 カべきの定理 @sr@信ororron ちるっ刺 本の捉線 接緑と割線 には方べさの中 うまくいかない。 3 接線FE と宙線FD) り8 2玉 AB CD にかべきの定撮を痢用しても 件 BC/EF を用いて, 新たなペア (この例題では。 3 サ出す。 直線FG は円の接線であるから, 方べき の定理により TrGーFATFD ① り。BC/EF であるから で同位角が等しぃ。 年弧AC に対する円