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20 第3章 三角関数
研究例題 52 三角方程式の解の個数
0502のとき, 方程式 cos20-2sin0+a=0を満たすの値が2個入
なるような定数αの値の範囲を求めよ。
2倍角の公式を用いて, sin0=t とおくと, tについての2次方程式になる。
ただし、の値のそれぞれについて、対応する8の値は,
-1<<1のとき、0502/27 または
<<2>
(±1のとき、0-1727 12/23 のそれぞれ1個
であることに注意する。
cos201-2sin' より 与式は
1-2sin 0-2sino+a=0
これより、
a=2sin 0+2sin 0-1 ...... ①
ここで, sind=t とおくと, 002 より, -1≧tlである。
①は, a=2+21-1=2(1+2)-2727
変形できる。
...... 2
①を満たすの値が2個となるのは②がt=1とt= -1 を同時に解にもって
ことはないから -1<t<1 の範囲に重解をもつか, -1<t <1 の範囲に1つの
y=a が 共有点をただ1つもち, それが-1<t<1 の範
囲にあるようなαの値の範囲を求める。
解をt<-1.1<t の範囲にもう1つの解をもつときである。
すなわち、放物線y=2(1+1/22-12/23 (-1≦t≦1) と直線
y=2t+
34
3
y=s
右の図より, a=-
のときも題意を満たすことに注意
して, a=-23-1<a<3
31
積を
和
注
右上のグラフにおいて,-1<a<3 のとき, 直線 y=a
と放物線y=2(1+1/22-12/3(-1≦t≦1)との共有点は
1個である。 そのとき,tの値に対して, 右のt=sin0
のグラフより、日の値は2個あることがわかる。
3
同様に考えると,①を満たすの値の個数は,a <- 23,
3<a のとき0個, α=3 のとき1個, α=-1 のとき3個,
335
2
<a<-1のとき4個となる。
2
3-2
2
2個
t=sin
