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(1)より、sinx = 3aの2つの解は0<x<πにあり、
sinx = 2a - 1の2つの解はπ<x<2πにある。
また、sinx = 3aの2つの解はα, π-αと書ける。
一方、sinx = 2a-1の2つの解はπ+β, 2π-βと書ける。
ただし、0<α<π/2, 0<β<π/2である。
よって、θ1 = α, θ2 = π-α, θ3 = π+β, θ4 = 2π-β
問題の式より、(θ2 - θ1) + (θ4 - θ3) = πなので、
代入すると、α + β = π/2
この式からsin β = sin(π/2 - α) = cos α
いま、sin α = 3a, sin β = 2a-1なので、sin² α + cos² α = 1より
(3a)² + (2a-1)² = 1 すなわち、13a² - 4a = 0
これを解くとa = 0, 4/13
このうち(1)の不等式を満たすのはa = 4/13
