例題 240 定積分の計算 (3) ··· 1/6 公式
(1)等式(x-a)(x-B)dx=-1/2 (B-α)" を証明せ
(2)次の定積分を求めよ。
S(x-2)(x-3)dx
④S+√(x²-2x-1)dx
基本 236
指針 (1)(x-a)(x-β) を展開してもよいが,(x-a)(x-B)=(x-a){(x-1)+(a-B)}
(*)
と変形し,公式 f(ax+b)"dx=1,(ax+b)"+1
n+1
解答
a
+Cを利用すると, 計算が比較的ら
く。また,(1) で証明する等式は後で学ぶ面積の計算などで非常に役立つ。正確に
(特に,マイナスを忘れないように!), しっかりと覚えておこう。
なお,(*)に関連した、次の式変形も重要である。 下の練習 240 (3) で利用するとよ
い。
(xa)(x-B)=(x-2)^{(x-a)+(α-B)}=(x-α)"+1+(a-B)(x-a)"
(2)上端,下端が (被積分関数)=0の解であれば, (1) の等式が利用できる。
(1)(x-a)(x-B)=(x-2){(x-a)+(α-B)) であるから検討
S(xa)(x-B)dx
=S{(x-a)+(a-B)(x-1)}dx
=1/1/(x-2)+(a-B)・1/2(x-2) 2]
-(3-a)-(3-a)=-1 (B-a)³
(2) (ア) 8x-②(x-③x=1/10
(イ) x²-2x-1=0 を解くと
下の図の斜線部分の面積 S
に対し, -S (1) の定積
分の値である。
1
a
6
x=1±√2
a=1-√2,B=1+√2 とおくと, 求める定積分は
ax-a)(x-B)dx=-1/2
100--(2√2)³ 48-a
6
8√√2
y=(x-α)(x-B)
S
B
X
3
=(1+√2)-(1-√2)
=2√2
POINT S(x-α) (x-3)dx=-1 (B-α)
上端一下端
[等式を俗に「6分の1公式」といい, 放物線に関連する図形の面積計算でよく
練習
② 240
次の定積分を求めよ。
(1) S__(x+2) (x4)dr
(3)
2
