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定義域の一端が動く場合の関数の最大・最小
基本例題 63
aは正の定数とする。 0≦x≦a における関数 f(x)=x2-4x+5について
(1) 最大値を求めよ。
V
CHART & SOLUTION
定義域の一端が動く場合の2次関数の最大・最小
軸と定義域の位置関係で場合分け
定義域が 0≦x≦a である
から、文字αの値が増加する
と定義域の右端が動いて, x
の変域が広がっていく。
したがって,αの値によって,
最大値と最小値をとるxの
値が変わるので場合分けが必要となる。
(1) y=f(x)のグラフは下に凸の放物線であるから,軸からの距離が遠いほどの値
きい (p.110 INFORMATION 参照)。
よって, 定義域 0≦x≦α の両端から軸までの距離が等しくなる (軸が定義域の中央に
致する)ようなαの値が場合分けの境目となる。
x=0 x=a
(2) 最小値を求めよ。
[1] 軸が定義域の [2] 軸が定義域の
中央より右
中央に一致
下軸
区間の
右端が
動く
x=0
定義域の両
端から軸ま
! での距離が
等しいとき
p.107 基本事項 2.
軸
x=a
区間の
右端が
動く
x=0
[3] 軸が定義域の
中央より左
軸
● 最大
1
(1)定義域 0≦x≦a の中央の値は 1/2である。
[1]
[1] 02 すなわち0<a<4
のとき
図 [1] から, x=0 で最大となる。
最大値は f(0)=5
[2] 1/21 2 すなわちa=4 のとき
図 [2] から,x=0, 4で最大となる。
最大値は f(0)=f(4)=5
[3] 2</1/17 すなわち 4 <a のとき
図 [3] から, x=α で最大となる。
最大値は f(a)=a²-4a+5
最大
x=0
[2]
[1]~[3] から
0<a<4 のときx=0 で最大値 5
a=4 のとき x=0, 4 で最大値 5
a>4 のとき
x=α で最大値α²-4a +5
最大
x=0
[3]
|x=2
x=0
なんで急に
がででてるの
最大
x=4
10
● 最大
|
x=2x-10/20
044)との
距離が等しい。
よって f(0)=f(a)
最大値をとるxの値が
2つあるので、 その2つ
の値を答える。
[3] 軸が定義域の中央
x=a
113
(2) 軸 x=2 が定義域 0≦x≦a に含まれるかどうかを考える。
[4]
x = 01/23 より左にあるか
、x=a の方が軸より
遠い｡
よって f(0) <f(a)
答えを最後にまとめて
く。
3章
[4] 軸が定義域の右外にあ
8
2次関数の最大・最小と決定
