112 定義域の一端が動く場合の関数の最大・最小 基本例題 63 aは正の定数とする。 0≦x≦a における関数 f(x)=x2-4x+5について (1) 最大値を求めよ。 V CHART & SOLUTION 定義域の一端が動く場合の2次関数の最大・最小 軸と定義域の位置関係で場合分け 定義域が 0≦x≦a である から、文字αの値が増加する と定義域の右端が動いて, x の変域が広がっていく。 したがって,αの値によって, 最大値と最小値をとるxの 値が変わるので場合分けが必要となる。 (1) y=f(x)のグラフは下に凸の放物線であるから,軸からの距離が遠いほどの値 きい (p.110 INFORMATION 参照)。 よって, 定義域 0≦x≦α の両端から軸までの距離が等しくなる (軸が定義域の中央に 致する)ようなαの値が場合分けの境目となる。 x=0 x=a (2) 最小値を求めよ。 [1] 軸が定義域の [2] 軸が定義域の 中央より右 中央に一致 下軸 区間の 右端が 動く x=0 定義域の両 端から軸ま ! での距離が 等しいとき p.107 基本事項 2. 軸 x=a 区間の 右端が 動く x=0 [3] 軸が定義域の 中央より左 軸 ● 最大 1 (1)定義域 0≦x≦a の中央の値は 1/2である。 [1] [1] 02 すなわち0<a<4 のとき 図 [1] から, x=0 で最大となる。 最大値は f(0)=5 [2] 1/21 2 すなわちa=4 のとき 図 [2] から,x=0, 4で最大となる。 最大値は f(0)=f(4)=5 [3] 2</1/17 すなわち 4 <a のとき 図 [3] から, x=α で最大となる。 最大値は f(a)=a²-4a+5 最大 x=0 [2] [1]~[3] から 0<a<4 のときx=0 で最大値 5 a=4 のとき x=0, 4 で最大値 5 a>4 のとき x=α で最大値α²-4a +5 最大 x=0 [3] |x=2 x=0 なんで急に がででてるの 最大 x=4 10 ● 最大 | x=2x-10/20 044)との 距離が等しい。 よって f(0)=f(a) 最大値をとるxの値が 2つあるので、 その2つ の値を答える。 [3] 軸が定義域の中央 x=a 113 (2) 軸 x=2 が定義域 0≦x≦a に含まれるかどうかを考える。 [4] x = 01/23 より左にあるか 、x=a の方が軸より 遠い｡ よって f(0) <f(a) 答えを最後にまとめて く。 3章 [4] 軸が定義域の右外にあ 8 2次関数の最大・最小と決定