基礎問
96 接線の本
曲線 C:y=x-x上の点を T(t, ピーt) とする.
(1)点Tにおける接線の方程式を求めよ.
2点A(a,b)を通る接線が2本あるとき, a,bのみたす関係式
を求めよ。ただし,a>0, b≠α-a とする.
(3)(2)のとき、2本の接線が直交するような a, b の値を求めよ.
精講
(2) 3次関数のグラフに引ける接線の本数は、接点の個数と一致し
ます. だから (1) の接線にA(a, b) を代入してできるtの3次方
程式が異なる2つの実数解をもつ条件を考えますが,このときの
考え方は 95 注 で学習済みです.
(3)未知数が2つあるので,等式を2つ用意します。
1つは(2)で求めてあるので,あと1つですが,それが「接線が直交する」
を式にしたものです。接線の傾きは接点における微分係数 (84) ですから、
2つの接点における微分係数の積=-1 と考えて式を作ります。
(1) f(x)=x-x とおくと, f'(x)=3x²-1
よって, Tにおける接線は,
y-(t-t)=(3-1)(x-t)
y=(3t2-1)x-2t3
(2)(1)の接線は A (a, b) を通るので
b=(3t2-1)a-2t3
∴.2t3-3at2+a+6=0 ......(*)
(*) が異なる2つの実数解をもつので,
g(t)=2t3-3at2+α+ b とおくとき,
y=g(t) のグラフが,極大値,極小値をもち,
|86|
y=x³-
(極大値)×(極小値) =0であればよい.
(t,t³-t)
A(a,b)
95注
g'(t)=6t2-6at=6t(t-a)
g'(t)=0 を解くと, t=0, t=α だから
