B1-48
第1章 数
(66)
Think X
例題 B1.27 いろいろな数列の和 (2)
S„=1-2°+32-4°+......+(-1)"+n² を求めよ.
考え方 S.は数列 a,=(-1)*+㎡²の初項から第n項までの和であるが,nが偶数か
その和を分けて考える必要がある.
nが偶数、つまり、n=2mm は自然数)のとき,
S2m=12-22+32-4°+ + (2m-1)-(2m)2
解答
合
列
Focus
=(1²-2²)+(3²-4²)+· +{(2m-1)-(2m)2}
nが奇数、つまり、n=2m+1のとき,
S2m+1=12-2°+32-4°+. +(2m-1)²-(2m)²+(2m+1)²
k=1
=(1-22)+(32-4)++{(2m-1)-(2m)2}+(2m+1)2
第項
nが偶数のとき, n=2m (mは自然数) とおくと,
m
S=Szm=(1²-22)+(32-4°)+...+{(2m-1)²-(2m)2}
={(2k-1)-(2k2}=2(-4k+1)
=-4z2m(m+1)+m=-m(2m+1)
第2項
第3項
k=1
m=2m より m=mn を①に代入して、
Sn=-2
zn(n+1) (2)
+/
S-111
nが奇数のとき､n=2m+1(mは自然数)とおくと,
Sn=S2m+1=(1²-2²)+(3²-4²)+...
+{(2m-1)-(2m)2}+(2m+1)^
=S2m+(2m+1)=-m(2m+1)+(2m+1) ²
=(m+1)(2m+1) .......
3
n=2m+1 より m=1/(n-1)を③に代入して,
S.=(2x+12)(n-1+1=1/12m(+1) ・・・④
④ は n=1のときも成り立つ.
よって, ②,④より
Sn=(−1)n +11
2n(n+1)
nが偶数の場合と奇数の場合に分けて考える
S2m1+1=S2m+ a2m
第 (2m+1)
練習 一般項a, =(-1)" n(n+1) で定められる数列の和
B1.27 S,=a+a+ast+an を求めよ
***
n=2, 4,
数列
{(2m-1)
の初項から
での和と考
和はnで
n=3, 5,
n=1 とす
1/12/21
･・1・2=1
場合分けし
この形のまま
