を求めよ。
本事項 3
て 最
注意。
へ。
-3
-1
である
を含ま
二値, 最
いこと
いて
る。
1187 最大最小の文章題(微分利用)
日本 例題
00000
半径6の球に内接する直円柱の体積の最大値を求めよ。 また、そのときの直
円柱の高さを求めよ。
&
CHARTL
文章題の解法
SOLUTION
最大・最小を求めたい量を式で表しやすいように変数を選ぶ
円柱の高さを、例えば2t とすると計算がスムーズになる。
数のとりうる値の範囲を求めておくことも忘れずに。
このとき、直円柱の底面の
半径は62-12,
面積は(√62-12 (36)
したがって、円柱の体積はtの3次関数となる。
円柱の高さを2t とすると
直円柱の底面の半径は
基本 186
06
✓62-12 三平方の
◆三平方の定理から。
ここで、直円柱の体積をyとすると理
y=x(√36-t2)2.2t
(36-12)・2t=2z(36t-13)
tで微分すると
y=2(36-3t2)=-6(-12)
=6(t+2√3)(t-2√3)
0<t<6 において, y' = 0 となるの
t=2√3 のときである。
(直円柱の体積)
=(底面積)×(高さ)
295
6章
dy
√62-12
dt
をy' で表す。
21
と端
と端
よって, 0<t<6 におけるy
の増減表は右のようになる。
t
0
...
2√3
...
6
定義域は 0<t<6 であ
y'
+
I
0
-
ゆえに,y t=2√3 で極
y
>
極大
大かつ最大となり,その値は
2362√3-√3)}=22√3(36-12)=96√3
また、このとき,直円柱の高さは
したがって
2.2√3 =4√3
最大値 96√3 π, 高さ 4√3
るから, 増減表の左端,
右端のyは空欄にして
おく。
t=2√3 のとき
√6212=2√6
よって、 直円柱の高さと
底面の直径との比は
4√3:4√6=1:√2
関数の値の変化
PRACTICE 187
曲線 y=9-x^ とx軸との交点をA,Bとし, 線分AB と
この曲線で囲まれた部分に図のように台形ABCD を内接
させるときこの台形の面積の最大値を求めよ。 また, そ
のときの点Cの座標を求めよ。を定め
y
9
D
C
881
ZA
0
B x