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基本 例題 85 2次関数の係数決定 [最大値・最小値〕 (1)
(1) 関数 y=-2x2+8x+k (1≦x≦4) の最大値が4であるように, 定数kの他
を定めよ。 また,このとき最小値を求めよ。
(2)関数y=x-2ax+α-2c(0≦x≦2)の最小値が11になるような正の
αの値を求めよ。
80,82
重要 86
指針 関数を基本形y=a(x-b)+αに直し、グラフをもとに最大値や最小値を求め、
(1)(最大値)=4(2) (最小値)=11 とおいた方程式を解く。
(2)では,軸x=a(a>0) が区間 0≦x≦2の内か外かで場合分けして考える。
CHART
2次関数の最大・最小 グラフの頂点と端をチェック
重要
定義域
とき,
指針
解答
(1) y=-2x2+8x+k を変形すると
y=-2(x-2)2+k+8
y
最大
k+8
区間の中央の値は
よって, 1≦x≦4においては,
4
右の図から, x=2で最大値+8
x
左にある。
012
をとる。
ゆえに
k+8=4
最小
(あるから, 軸 x=2は
間 1≦x≦4で中央より
◆最大値を = 4 とおいて
んの方程式を解く。
よって
k=-4
+
このとき, x=4 で最小値4 をとる。
(2) y=x2-2ax+α2-2a を変形すると
y=(x-a)²-2a
10
[1] 0<a≦2のとき, x=αで
最小値 2αをとる。
8+
[1] y
軸
1
11
a
0
2
x
2a=11 とすると α=- 2
これば0<a≦2を満たさない。
[2] 2 <αのとき,x=2で
2a 最小
■ 「αは正」に注意。
a2のとき
軸x=αは区間の内。
→頂点 x=αで最小
M
の確認を忘れずに。
2 <αのとき
軸x=αは区間の右
解答
ふさせ
最小値 22-2a・2+α²-2a,
つまり-6a+4をとる。
α-6a+4=11 とすると
a2-6a-7=0
[2] y
2
区間の右端 x=2で
a
-6a+4 i
最小
a
1
(a+1)(4-7)=0
これを解くと
a=-1,7
0 2
x
2 <αを満たすものは a=7
以上から、求めるαの値は α=7
の確認を忘れずに
-2a
注
(1) 2次関数 y=x-x+k+1の-1≦x≦1における最大値が6であるとき、
③ 85 kの値を求めよ。
(3)
