000
基本55
した。
化
を代入。
を代入。
重要 59 フェルマの小定理に関する証明
00000
は素数とする。 このとき, 自然数nについて,n-nがの倍数であることを
数学的帰納法によって証明せよ。
指針
解答
[類茨城大]基本56
n=k+1の場合に(k+1)が現れるが,この展開には二項定理(数学ⅡI) を利用する。
よって
(k+1)=k+pCik-1+pCzkP2++pp-ak+pCp-ik+1
(k+1)-(k+1)=pC1k-1+Czk2++pCp-zk+pCp-skk-k
n=kのときの仮定より,k-kはかで割り切れるから,pCi, pC2,.......
ち (1≦x≦p-1) がpで割り切れることを示す。
n-nはかの倍数である」 を①とする。
[1] n=1のとき 1'-1=0
よって, ①は成り立つ。
Cp- すなわ
合同式(チャート式基礎からの数学A) を
利用してもよい (解答編 p. 352,353 参照)。
......
②と
[2]n=kのとき① が成り立つと仮定すると,k-k=pm(m は整数)
おける
n=k+1のときを考えると、 ② から
(k+1)-(k+1)=k+pC1kp-1+pCzko+....+pp-2k+pCp_ik+1_(k+1)
503
1
章
⑥数学的帰納法
一代入。
=pCike-1+pCzkp+......+pCp_2k+pCpk+pm ...... ③
1≦x≦p-1のとき
p!
pCr=
(p-1)!
=
r!(p-r)!
r (r−1)!(p-r)! r
Pp-1Cr-1
12,22,
よって ropCr=ppiCr-1
♪は素数であるからとかは互いに素であり, Cr はμで割り切れる。
ゆえに,③ から, (k+1)-(k+1) はの倍数である。
したがって, n=k+1のときにも①は成り立つ。
[1], [2] から, すべての自然数nについて,n-nはpの倍数である。
