82 47 無限等比級数の図形への応用 xy 平面上に, 2直線 y=x と とがある. 直線上の点P。 (1,1)を通りに垂 直な直線との交点をQ とし,点Qを通り に垂直な直線との交点をP とする. y=2xc Y 12:y=2x 11:y=x Po (1, 1) 以下同様に,上の点Pを通りに垂直な 直線ととの交点をQとし, Qnを通りに垂 直な直線との交点を P7+1 として, 直線上の点Po, P1, P2, ... お よび直線上の点 Qo, Q1, Q2, … を定め, PrQn=an (n=0, 1, ... と おく. このとき, 次の問いに答えよ. (1) α を求めよ. (2)an+1 an+1 を an で表せ n (3) limΣPkQ を求めよ. n→∞k=0

(2)∠POQ=0 とおくと, (1)より = 1 (1) BA sin 0-0-0 (0<<) OP。 10 , ZPnQnPn+1 = <Qn Pn+1Qn+ 1 = £ PnQn cos 0=QnPn+1 QnPn+1 を消去して QnPn+1 COS Pn+1Qn+1 だから, Pn+1Qn+1 Cos²0⚫PnQn an+1= cos 20 an cos20=1-sin20-1-- 1 10 = 9 10 0 YA Qn+1 Pn 0 Pn+1 より O 18 9 an+1= -an 10