123の数字が書かれたカードがそれぞれ2枚 3枚 4枚ある。これらのカー
ドから4枚を使ってできる4桁の整数の個数を求めよ。
例14
針 同じ数字が書かれたカードが何枚かあり (しかし、その枚数には制限が 千 百田
ある)、そこから整数を作る問題では,まず, 作ることができる整数のタ
イブを考える。
本問では、使うことができる数字の制限から
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AAAA, AAAB, AABB, AABC
・A, B, Cは1,2,3のいずれかを表す。
11
22
33
重
(1)
(2)
指針
の4つのタイプに分けることができる。このタイプ別に整数の個数を考える。
1,2,3のいずれかを A, B, C で表す。 ただし, A, B, C
はすべて異なる数字とする。
次の [1]~[4] のいずれかの場合が考えられる。
[1] AAAAのタイプ。 つまり、同じ数字を4つ含むとき。
1個
4枚ある数字は3だけであるから
[2] AAAB のタイプ。 つまり、 同じ数字を3つ含むとき。
3枚以上ある数字は2, 3 であるから, Aの選び方は
2通り
Aにどれを選んでも, Bの選び方は
2通り
そのおのおのについて, 並べ方は
4! =4(通り)
3!
よって,このタイプの整数は
2×2×4=16 (個)
[3] AABB のタイプ。
3333 だけ
222□□は1,3)
または
333 □は1,2)
1122,1133,2233
つまり、同じ数字2つを2組含むとき。
1 2 3 すべて2枚以上あるから, A, B の選び方は
1, 2, 3から使わない数
3C2通り
そのおのおのについて, 並べ方は
4!
字を1つ選ぶと考えて
=6(通り)
2!2!
3C 通りとしてもよい。
よって,このタイプの整数は
32×6=18 (個)
3C2=3C1=3
[4] AABCのタイプ。
つまり同じ数字2つを1組含むとき。
Aの選び方は3通りで, B, CはAを選べば決まる。
1123, 2213, 3312
そのおのおのについて, 並べ方は
4!
2!
の3通りがある。 なお、
=12 (通り)
よって、このタイプの整数は
以上から
3×12=36 (個)
1+16+18+36=71(個) 人
例えば, 1132 は 1123 と
同じタイプであることに
注意。
