△ 158 下 154 AB=10, ∠B=2∠C である △ABCにおいて,∠B の二等分線と辺 ACの交点をDとする。 A, D から 辺BCに下ろした垂線を, それぞれ AE, DF とする とき, 線分 EF の長さを求めよ。 A BE 155 平行四辺形ABCD の対角線のなす角を2等分する? A H *159 (1)

154 DF//AE であるから AD: DC=EF: FC ...... ① △ABCにおいて, BD は ∠Bの二等分線である から AD: DC=AB: BC ...... ② ① ② から で AB: BC=EF: FC ...... ② 156 よって A AB: EF=BC: FC ...... ③ ∠B=2∠C, ∠ABD= ∠DBC であるから ∠DBC= ∠DCB したがって, △BCD は DB = DC の二等辺三角 形であるから, F は辺BC の中点である。 よって, ③ から AB: EF=BC:FC=2:1 1 したがって EF=12AB=12×10=5 別解 (②' を導くところまでは同じ) また ∠DBC= ∠DCB よって, △BCD は DB = DC の二等辺三角 形であるから, Fは辺 BC の中点である。 ここでEF=x, BF=y とおくと, FC=yである から②より 10:2y=x: y ゆえに 2xy=10y y≠0であるから x=5 したがって EF=5=20 HA AAA 155 平行辺形ABCDの対 Rの占 15