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基本 例題 163 円に内接する四角形の面積(2)
(1) cos A の値を求めよ。
円に内接する四角形ABCDがある。 AB=4, BC-5,CD=74=10のときのた
指針 四角形の問題は、対角線で2つの三角形に分割するのが基本方針。
また、円に内接する四角形の場合, 対角の和は180° であることにも注意。
(1) △ABD, ABCD それぞれで余弦定理を適用し, BD2を2通りに表す。
A=180-C(2)
Very
【CHART 四角形の問題
①1 対角線で2つの三角形に分割
なお, A+C=180° (対角の和は180°) も利用。
△ABD+△BCD として求める。 △ABD, ABCD の2辺は与えられているから,そ
の間の角の sin がわかれば面積が求められる。 (1) の結果を sin? A+cos' A=1に代入
しまずsin A を求める。
事項
※円に
また
の関
の
(2)四角形 ABCDの面積を求めよ。
基本162
参考
COSAを求めら
1. F
円
② 円に内接なら (対角の和)=180°に注意
[解
解答
(1) 四角形ABCD は円に内接するから
189-A
△ABD において, 余弦定理により
BD2=102+42-2・10・4cos A
=116-80cos A
...
①
ABCD において, 余弦定理により
BD2=72+52-2・7・5cos (180°-A)
B
A
15
10
180 A
7
D
116-80cos A=74+70cos A
=74+70cos A
......
! ① ② から
42
ゆえに cos A=
7
150 25
(2) sinA>0であるから
sinA=
25
1 (2/6)= ¥576
24
25
25
また
24
25
よって, 求める面積は
sinC=sin(180°-A)=sinA=
A+C=180°
補助的をろしい
cos(180°-A)=-cos A
① ② から BD2 を消去。
検討
本例題のように,円に内接す
四角形の4辺の長さが与え
られているとき∠AC
の正弦の値をそれぞれ求め、
△ABD と ABCD の面積を
求めることができる。
このようにして,一般に,円
に内接する四角形は、4辺の
△ABD+ △BCD= 12. ABAD sin A+ 1/2 BC・CD sinC 長さが決まれば、その面積が
= ・4・10・
-1214-10-2+1/2-5-72-36
やわくてもO
決まる (次ページの1.参照)。