放物線y=x²-2x+1 と直線 y=mxについて,次の問いに
答えよ.
(1)上の放物線と直線が異なる2点P,Qで交わるためのmの範
囲を求めよ.
(2) 線分 PQ の中点Mの座標をm で表せ.
(3)
点Mの軌跡を求めよ.
が(1)で求めた範囲を動くとき,
200
精講
(1) 放物線と直線の位置関係は, 連立させてy を消去した2次方程
式の判別式を考えます.
02161-
異なる2点とかいてあるので, 判別式≧0 ではありません。
(2)(1) 2次方程式の2解がPとQのx座標ですが, mを含んだ式になるの
で2解をα,βとおいて,解と係数の関係を利用した方が計算がラクです。
(3) (1)において, mに範囲がついている点に注意します.
45
III
解答
y=x2-2x+1
①, y=mx..... ②
(1) ①②より,yを消去して,x²-(m+2)x+1=0 ......③
③は異なる2つの実数解をもつので、
判別式をDとすると,D> 0
m²+4m>0
D=(m+2)2-4 であるから
.. m(m+4)>0
m<-4,0<m
(2)③の2解をα,βとすれば,
P(a,ma), Q(B, mB) とおける。
Y
y=x^2-2x+1
このとき,M(x, y) とすれば,
x=a+B
_m(a+β)
M
2
y=
Fmx
2
(4)
P
0
ここで,解と係数の関係より
α 1 B
C
aniey=mx
a+β=m+2 だから
(06)
