なぜ両辺をxで微分するときに式にdy/dx をかけているのですか？🙇🏻‍♀️

2 例題7 方程式 +2 4 求めよ。 =1で定められるxの関数yについてを 2 解答 + I I すると .2 =1の両辺をxで微分 2x 2y dy 2x + 9 4 dx よって, y≠0のとき dy dx = 4x 9y 2+2=1 y 9 4 = :0 -3 0 -2 → 13x I 曲

(4)陰関数定理を用いて最大最小を求めようとしたのですが、xの値が上手く出せずになかなかできません。 どうやってするのか分からないので教えて欲しいです

(1)教えて欲しいです 僕の方針的には 式をＹについて整理してみて判別式を利用するとxの範囲が求まると思ったのですが、最後、-9(〜)となってしまい、カッコの部分の不等号が分からないため、解けなかったという感じです。

[2] 方程式 52 + 8ry + 5y2-4 +4y=1 を満たす点 (x,y) の集合 C を考える. 次の問いに答えよ. (1)のとり得る値の範囲を求めよ. (2)yについて陰関数定理を適用できないC上の点を求めよ. (3)yのについての陰関数 y=(z) の極値を求めよ. (4) (x,y) C上を動くとき, f (x,y)=x^2+y2の最大値と最小値を求めよ.

1番について Yが実数解を持つ範囲がXの取りうる範囲だから下のように計算しているという解釈でいいですか？

7 陰関数yをxで表す 曲線2-2.xy+2y2=4について, æのとりうる値の範囲は (1) であり、 また, この曲線で囲 (芝浦工大工/途中省 をæで表して積分 曲線の概形を調べることなく面積を求めるタイプの問題 C f(t) れる部分の面積は (2) である. である. 右図の曲線 C で囲まれる部分の面積を求める場合, 直線x=t との交わりの 長さず (1) がわかれば 'f(t) d となる.そして,f(t)は「Cの式に=tを代入し たものを」の方程式とみるとき, 大きい解から小さい解を引いた値」 である. 2次方 程式を解くので根号が出てくるが、積分できるものになっている。 例題および演習題 (ア)では,円(の一部) の面積とみるのがよい. 解答 合 x²-2xy+2y2=4をりの方程式とみると2y2-2xy+(z2-4)=0 . y= x±√x²-2(x²-4) x±√8-x² 2 == 2 (1) 上式の の中が0以上になることが条件だから, a x=t b ←上では文字を使ったが、エ 解いてよい. 8x20 -2/2≤x≤2/2

写真の、赤線を引いた部分の微分の変形がわかりません。

の両辺xで微分すると, d d 4x dx -2xy+ 2 dx y²=0 4x-2y-2x- dy dy d • dx dx dy y² = 0 dv

2xdx/dy+2ydy/dxの部分が何でそうなるか分かりません

-U2° y=√x2+1のとき,u=xt y=√√u (=už) だから, y' = = dy du du dx 1 dy dy dx de dx _sin ə 1-cos 0 de) ・2x (J) 61. 2 テーマ - 1 ・2x 「陰関数微分. (S) x x2+1 (10 東京理科大) £mil …… 2x²-2xy+y'=5の両辺をxで微分すると dy dy 4x-2y-2x+2y=0 dx dx だから,xyのとき dy 2x-y dx x-y よって, 点 (1,3)における微分係数の値は、 2-1-31 1-32-1-

かっこ1の解答の2行目にあるyダッシュはなんですか？？

次の曲 楕円 x2 2 + α2 621上の点P(x1, yi) 式をそれぞれ求めよ。 ただし, a>0,6> 0 [(2) 類 東京理科大 ] (2) 曲線x=e', y=e" のt=1 に対応する点 Q /p.142 基本事項 2 基本 81 接線の傾き=微分係数 まず, 接線の傾きを求める。 dy (2) dy_dt を利用。 dx dx dt (1) 両辺を x で微分し,yを求める。 解答 a² (1) 2/8 a² + 2 62 = 2x+2y=0 1の両辺をxについて微分すると ゆえに, y≠0のときy'=- 62x よって、点Pにおける接線の方程式は,y≠0のとき a²y 陰関数の導関数につい ては, p.136 を参照。 y-yi=- a²y₁ B2x1 (xx) すなわち X1X 2 X1 + V12 = a² + 両辺に を掛ける。 62 a² 62 2 点Pは楕円上の点であるから X1 V12 + = 1 a² 62 傾き YA y=0 のとき,接線の方程式は X1X yıy + B2x1 =1 ① a² b² a²y1 P(x1,y1) y=0 のとき, x=±αであり, 接線の方程式はx=±a これは① で x=±α, y = 0 とすると得られる。 xxx + 3y =1 したがって, 求める接線の方程式は a² 2 62 x=-a 10 p.137 参照。 ax x=a

(速度ベクトル)=(-2,2)の値を直接tで微分して(加速度ベクトル)=(0,0)とならないのはなぜなのでしょうか？教えていただきたいです。

. 重要 例題205 運動する点の速度 加速度 (2) 00000 曲線xy=4上の動点Pからy軸に垂線PQを引くと, 点Qがy軸上を正の向き に毎秒2の速度で動くように点Pが動くという。 点Pが点 (2,2)を通過すると きの速度と加速度を求めよ。 dx dt' 針x,yは時刻tの関数である。 (x, y) = (2,2) のときの dx dy dx dy dt' dt dt²' dt² dt dy 2),加速度は=dx 基本203 の値に対 dx dy 微分すると •y+x• =0 dt dt 条件から dy =2 dx ① よって dt dt 解答 して、点Pの dx d'y まず陰関数の微分 (p.272 参照) の要領でxy=4の両辺をtについて微分する。・・・ yは時刻tの関数であるから, xy=4の両辺をtについて (*) ① : 毎秒2の速度とあるか tの値に関係なく dy=2(-) dt ②(xy)'=xy+xy' .y+2x=0. dxD x=2, y=2とすると =-2 dx ...... ③ dt ここに代入 ・2+2・2=0 dt ゆえに、点Pの速度は dy dt' (dx, dx)=(-2, 2) しないように OL 平面上の動点の速度は トルで表される。 また、①②の両辺を tについて微分すると, それぞれ d2y d²x =0, jy+ dxdy+2dx=0 dt2 dt2 dt dt dt ◄(x'y)'=(x')'y+x'y' =x"y+x'y' (1) dex y=2と① ③を代入すると = =4 dt2 よって、点Pの加速度は d²x d²y)=(4, 0) dt2' クトルで表される。 平面上の動点の加速度

赤線引いたところがわかりません。どうして0<x<2なのですか？🟰はなぜつけないのでしょうか、教えていただきたいです

306 基本 例題 181 陰関数で表された曲線と面積 (2) 与式は成り立つから, 曲線はx軸, y 軸, 原点に関して対称 であることがわかる。ゆえに,x0,y≧0の範囲で考える。 ① y=x√4-x2 このとき,y2=x2(4-x2) 0から よって, 曲線①とx軸で囲まれる部分の面積を求め,それ を4倍する。 曲線 (x2-2)'+y2=4で囲まれる部分の面積Sを求めよ。 00000 重要 109, 基本 180 指針 この例題も陰関数で表された曲線の問題であるが, 曲線の概形はすぐにイメージでき ない。 そこで,まず, 曲線の対称性に注目してみる (p.185 重要例題 109 参照)。 (x, y) を (x, -y (-x, y), (-x, -y) におき換えても 基本 媒介変 で 指針 yA (-x, y) (x,y) 0 I (-x, -y) (x,-y) CHART 面積計算はらくに 対称性の利用 曲線の式で (x,y) を (x, -y), (-x, y), 解答 (x, y) におき換えても (x2-2)2+y2=4は成り 立つからこの曲線はx軸, y軸, 原点に関して対 称である。 解答 y=-x√4-x² y=x√4- 別 したがって, 求める面積Sは,図の斜線部分の面積 の4倍である。 (x2-2)2+y2=4から -2 y2=x2(4-x2) y=x4x2 x0,y=0のとき y=x√4-x2 ここで, 4-x20 であるから -2≤x≤2 x≧0と合わせて 0<x<2のとき y=√4-x+x.. 0≤x≤2 -2x 4-2x2 x 0 2√4-x2 √4-x2 y' + y 0 > 202 √2 2 0 dx y' = 0 とすると,0<x<2では x= =√2 0≦x≦2における増減表は右のようになる。 よって S=4S«x √4¬x² dx=4S*(4−x²)². (4-x² == = =-21/2/3(4)3-13 (0-1) 32 翌3 4-x=t とおくと -2x dx=dt S=(-) ◄4=(22)=23=8 x=2sin0 [参考] この曲線は, リサージュ曲線 である(p.188)。 ly=2sin20 練習 次の図形の面積Sを求めよ。 ③ 181 (1) 曲線 √x+√y=2とx軸およびy軸で囲まれた図形 (2) 曲線y=(x+3)x2で囲まれた図形 (3) 曲線 2x2-2xy+y²=4で囲まれた図形 P,318 EX151, 152 ②

YダッシュがX/Yになる理由が分かりません

116 第5章 微分法 基礎問 65 陰関数の微分 r-y'=1 について 次の問いに答えよ. ただし, (x,y)=(±1,0 とする. (1) dy をとりで表せ dr Q2) dzy をxとyで表せ 精講 dx² r-y'=1 を 「y=(xの式)」の形にしようとすると となります。この形にして数分してもよいのですが、な y=1の形のまま微分する方法を勉強しましょう. いないと間違いやすい部分があります。 入試での出題例は多くないとはいえ、 技術的には,すでに学習済みの道具を使うだけですが、感覚的には、慣れて 微分という作業では基本になりますので,「いつでもできる」状態にしておく 要があります。 63 (対数微分法)の注の「logly をょで微分する」という話のなか 「まずyで微分しておいて,' をかけておく」 という部分がありますが、 使われるのもこの技術です。最初の段階では54 注 1の公式を使っていく とになりますが、 早くこの作業に慣れてすぐに結果をかけるようになって いものです。 ここで、いくつかの例をあげておきますので、これらを通して, イメージ つかんでください。 (例) (1) x²-y²=1 2x- d dx 2x- dy dx dy 2x- da dy dx y d²y d (2) dx2 dx 1.y ポイント y- y²- 注 (x,y)=(±1 (7)=dy. (²)=y'-2y=2yy' dy (i) + (xy)=(x)'·y+1+2+y=y+1y' dr dy d ry-y (x, y)(±1, C はなら 種の微分 演習問題 65 (商の微分 ただし