実数に対して、f(t) f(t)=lx-tx|dx と定める。 0≧≦1 のとき,f(t)の最大値お
よび最小値を求めよ。
料
[千葉大】
積分の中に文字x, tがあるが, dxのx が積分の変数である。 よって, tは定数として
扱う。
x-txl=/.x(x-t) であるから, 絶対値記号の中の式の正負の分かれ目の値は
x=0, tである。 0≦t1であるから, x=tが積分区間 0≦x≦1に含まれる。
よって、 0≦x≦t, t≦x≦1 に分けて考える。
20≦x≦1 における f(t) の増減を調べる。
......B
0≦t≦1であるから
0≦x≦tのとき
(A)
|x²-tx|=-(x²-tx)
t≦x≦1のとき
xとの大小によって、絶対
値記号の中の式の正負がかわ
よって
る。
(A)では,xと0の大小によ
ってx4xの絶対値をは
(した)
|x2-tx|=x-tx
f(t)= x²-tx\dx
=S{(x-tx)dx+S(x-tx)dx
t
[*[*]
3 2
3 2
O
--(−) + ( − ½)-(−)
3
3 2
13
t 1
=
+
3
2 3
L
f'
ゆえに (1)=-1/2=(1+2)(17)
√2
f'(t) = 0 とすると
t=±
2
0≦t≦1 における f(t) の増減表は次のようになる。
t
f'(t)
f(t)
0
13
-
7
22
:
***
1
91
+
0
極小 >
ここで
16
111 0101 1/10
13
また17)=
√√2
1 1 √2
+
12
4
3
3
よって, t=0で最大値
'
3
t=
豆で最小値 1
√2
をとる。
2
3
6
