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平面上に,どの3本の直線も1点を共有しない, n本の直線がある。 次の場合、
平面が直線によって分けられる領域の個数をnで表せ。
(1) どの2本の直線も平行でないとき。
(2)n(n≧2本の直線の中に, 2本だけ平行なものがあるとき。
指針 (1)=3の場合について,図をかいて考えてみよう。
解答
a2=4 (図のD1~D) であるが,ここで直線 l を引くと, l3
は l, l2 と2点で交わり, この2つの交点でlsは3個の
線分または半直線に分けられ, 領域は3個(図のDs, D6,
D) 増加する。
よって as=a2+3
[類 滋賀大]
n=3
l3
Ds
D₁
D、
D3
D6
D2
D7
a
同様に,n番目と (n+1) 番目の関係に注目して考える。
n本の直線によってan個の領域に分けられているとき,(n+1)本目の直線を引く
と領域は何個増えるかを考え, 漸化式を作る。
(2)(n-1)本の直線が (1) の条件を満たすとき, n本目の直線はどれか1本と平行に
なるから (n-2) 個の点で交わり, (n-1) 個の領域が加わる。
n
(1) 本の直線で平面が α 個の領域に分けられていると
する。
(n+1) 本目の直線を引くと,その直線は他のn本の直
線で (n+1) 個の線分または半直線に分けられ、領域は
(n+1) 個だけ増加する。ゆえに an+1=an+n+1
よって an+1-an=n+1
また a₁ =2
(n+1)番目の直線はn
本の直線のどれとも平行
でないから,交点はn個。
|Σ(k+1)=_k+21
n-l
n-1
k=1
k=1
1/12(n-1)n+n-1
数列 {a} の階差数列の一般項はn+1であるから,
n-1
n2+n+2
n-1
n≧2のとき an=2+2(k+1)=
k=1
k=1
これはn=1のときも成り立つ。
n2+n+2
ゆえに, 求める領域の個数は
2
(2)平行な直線のうちの1本を l とすると, l を除く
(n-1) 本は (1) の条件を満たすから,この(n-1) 本の
直線で分けられる領域の個数は (1) から
An-1
更に, 直線 l を引くと, lはこれと平行な1本の直線以
外の直線と (n-2) 個の点で交わり, (n-1) 個の領域が
増える。 よって, 求める領域の個数は
(1)の結果を利用。
an-1 は, (1) の annの
(n-1)+(n-1)+2
n²+n
an-1+(n-1)=
-+(n−1)=-
2
2
代わりにn-1とおく。
