確率は同じものでも区別して考えるというのが基本ですが、（3）では（グー、グー、チョキ、パー）のような並びを4!／2!と区別できないものとして数えていて、その理由が分からないので教えていただきたいです。

398 基本 例題 39 じゃんけんと確率 (1) 2人がじゃんけんを1回するとき, 勝負が決まる確率を求めよ。 0000 (2)3人がじゃんけんを1回するとき, ただ1人の勝者が決まる確率を求めよ。 (3) 4人がじゃんけんを1回するとき, あいこになる確率を求めよ。 基本38 当たりく 15本のくじの 日本あるか。 当たりく は、 を解く。 なお、 に注 ずれる 3通り 指針 じゃんけんの確率の問題では,「誰が」と「どの手」に注目する。 3人から1人を選ぶから (2)誰が ただ1人の勝者か どの手で勝つか (3) あいこ になる 「全員の手が同じ」 か 「3種類の手がすべて出ている」場合が ・ (グー), (チョキ),(パー)の3通り ある。 よって, 手の出し方の総数を,和の法則により求める。 2人のうち誰が勝つか 2C通り (1) 2人の手の出し方の総数は 解答 32=9(通り) 1回で勝負が決まる場合, 勝者の決まり方は そのおのおのに対して, 勝ち方がグーチョキ 3通りずつある。 2通り パーの よって, 求める確率は 2×3 2 9 3 きの3通りあるから, 求める確率は 1-- 別解 勝負が決まらない場合は, 2人が同じ手を出したと後で学ぶ余事象の確率 3つのどの手で勝つか 通り また、 15本か 3 2 33=27(通り) (2) 3人の手の出し方の総数は 1回で勝負が決まる場合, 勝者の決まり方は そのおのおのに対して, 勝ち方がグー チョキ,パーの 3通りずつある。 9 3 (p.405) による考え方。 当たり (2)3人をA, B, Cとす C1=3(通り) ると,Aだけが勝つのは A B C したが すな 3×3 1 合 よって, 求める確率は 27 3 34=81(通り) (3) 4人の手の出し方の総数は あいこになる場合は,次の[1] [2] のどちらかである [1] 手の出し方が1種類のとき 3通り [2] 手の出し方が3種類のとき {グー,グー,チョキ, パー}, {グーチョキチョキ,パー}, {グーチョキ,パー, パー} の3つの場合がある。 の3通り。 分母 <3×3×3×3 通り 左辺 これ 4人全員がまたは 10- または 出す人を区別すると, どの場合も 4! 通りずつあるか 2! 例えば, ら,全部で 4! 2! ×3=36(通り) (6. 6. J. 6) を出す2人 4人 よって, 求める確率は 3+36 13 = 81 27 から選ぶと考えて 42×2!(通り) 練習 5人がじゃんけんを1回するとき、 次の確率を求めよ。 20 40

(2)が分からないです。 なぜ、2色のカードを引くってなるのですか？ 少なくとも１枚なので、３枚のカードを引くが余事象じゃないんですか？ 教えてください

「確率 数列 112枚の同じカードがあります。 4枚ずつ赤, 青,黄の色をつけ, 各色 ごとに1~4までの番号を付けました。 箱の中にすべてのカードを入れ て,中を見ないで6枚のカードをひきます。 このとき,次の問いに答え なさい。 正答率 48.5% (1) カードのひき方は全部で何通りですか。 (2) どの色のカードも少なくとも1枚はひく確率を求めなさい。 【解き方】 12! (1) 12C6= (12-6)!6! 12・11・10・9・8・7 6.5.4.3.2 ← =924 (通り) 12枚から6枚選ぶ組み合わせ。 924通り 解答 (2) 「どの色のカードも少なくとも1枚はひく」 の余事象は 「2色のカードをひく」である。←同じ色のカードは4枚しかない。 赤青の2色のカードをひく場合は,黄以外の8枚のカードから6枚 8・7 をひく場合だから,C6=8C2= =28(通り) 2 であり、2色の組み合わせはC2=3 (通り)ある。 よって、求める確率は, 28.3_840 1- 924 840 924 = 10 11 ←余事象の確率 1P(A) ここでもの 組みわせ 何 == 10 解答 11

数学の確率のランダムウォークなどの問題でこのような経路図を書くことがあると思うのですが、この図はどのような問題の時に有効ですか？ この問題もこれを利用しても解けるのですが、思いつきの発想になってしまっています。解答よろしくお願いしますm(_ _)m

ス 5 5 10 七 →t [s]

数学Aの問題です （1）はなぜ出た目が5か6の余事象でやってはいけないんですか？？

182 第7章 確 基礎問 114 最大数 最小数の確率 101 19.J01 101 1つのサイコロを4回ふって、出た目のうち最大のものをXと する. (1)X≦4 となる確率 P(X≦4)を求めよ。 (2) X=4 となる確率 P(X=4) を求めよ。 精講 101の確率版です. 101 との違いは, 本間が反復試行であることです。 4以下 5,6 具体的には,同じ数字が何回も出てくること です. te たとえば,出た目の最大値が4のとき,たくさんの場3以下 合を考えないといけないのでポイントの考え方を使いま す. イメージは右図です. ふまれる O 4が必ず1つは含まれて 5,6は含まれていない 解答 (1) X≦4 となるとき,出る目は4回とも1から4の目のどれかだから = P(X ≤4)-(+)-(2)-16 = = 3 81 (2) P(Y)

（ウ）の問題なのですが、 勝者も敗者も出ない余事象はなぜ｢勝者が決まる｣になるのですか？ 敗者のことは考えないのですか？

J 30 5人で1回じゃんけんをする。 このとき, 1人だけが勝つ確率はｱで あり、ちょうど3人が勝つ確率は である。また,勝者も敗者も出な い確率は である。 41 ( 213 1000から9999 までの4桁の整数の中から,その1つを無作為に選んだと T

高校数学IA確率です。 1枚目の写真が問題、2枚目の写真が答えです。 答えの黄色の線を引いているところなんですが、 4C1 で解くのではなく、4！/3！で解くのは解釈違いでしょうか？ また、どうして答えのように4C1という式になるのか教えていただきたいです。

87 さいころを4回続けて投げる。 出た目の和が7以上である確率を求めよ。 (愛媛大) ★★ 考え方 出た目の和が7以上になる場合より, 6以下になる場合の方が少ない。 このような 場合は余事象の確率を考えると簡単になる場合が多い。

練習46は余事象を使って解く問題ですが、そのまま同じ目が出るのが36/1=6/1、1-6/1=6/5と答えを出したのですが、Cを使って式で表すことは可能でしょうか？可能でしたら式を教えて頂きたいです

10 応用 例題 100 1から9までの9枚の番号札から3枚を同時に引くとき, 少 9 とも1枚が偶数の番号である確率を求めよ。 考え方 「少なくとも1枚が偶数」 という事象は, 「偶数が1枚もない」 15 すなわち「3枚とも奇数」 という事象の余事象である。 解答 奇数の札は5枚ある。 よって, 3枚とも奇数である確率は 5C3_5 = 9C3 42 数数 奇数 奇偶 数数数 偶偶 少なく 求めるのはこの余事象の確率である 数数数 1枚が から 1- = 5 37 42 42 偶偶偶 数数数 赤玉6個と白玉4個の入った袋から4個の玉を同時に取り出すと 20 45 少なくとも1個が白玉である確率を求めよ。 17 (練習 46 2個のさいころを同時に投げるとき, 異なる目が出る確率を求めよ

確率です！ 写真の問題のマーカー部分について。「3枚すべてがn-1回後までに取り除かれている確率」と書いてありますが、どれか1枚はn-1回目ちょうどで取り除かれないといけないのでは？ どなたか教えてください！

場合の数, 確率を中心にして 85 余事象の確率 求めよ. (1) 試行が1回目で終了する確率p, および2回目で終了する確率p を 最初の試行で3枚の硬貨を同時に投げ、裏が出た硬貨を取り除く. 次の 試行で残った硬貨を同時に投げ、裏が出た硬貨を取り除く。以下この試行 をすべての硬貨が取り除かれるまでくり返す. (2) 試行が回以上行われる確率を求めよ. となり,これが①の確率, すなわち余事象の確率である. したがって、求める確率は、 確率は, (1)1(金) 2 -1 -1-2-1+22-2-2-3 よって, 3枚の硬貨すべてがn-1回後までに取り除かれている(残っていない) 場合の数、 確率を中心にして g.jp/ 1 (a-b)-a-3a2b+3ab²-6 を用いて展開した 3 (一橋大) gn=1-1- 0.-1-(1-21+ 207 241)- 3 3 22n-2 3 23n-3 2-1 22-2+ 解答 1 1 pi= (1) 1回目の試行で終了するのは, 1回目に3枚とも裏が出た場合であるから, 以上より, ②n=1にすると, 3 3 20 3 3 1 In= 2"-1 221-2 23-3 + 2回目の試行で終了するのは,次の(ア), (イ), (ウ)の場合がある. 解説講義 (はじめ) (ア) 3枚 (イ) 3枚 (ウ) 3枚 (1回後) (2回後) → 3枚 0枚 2枚 0枚 残っている硬貨の枚数の 変化を考えている → 1枚 0枚 (の確率は,(12/2)×(1/2)=14 1回目は3枚とも表, 2回目は3枚とも裏 (イ)の確率は,sC) (12) (1/2)×(1/2)=132 (ウ)の確率は,,C(1/2) (1/2)×(12)=1/65 3 よって、2回目の試行で終了する確率p2 は, 1 3 3 19 P2= + + 64 32 16 64 (2) 1回目の試行は必ず行うので, 91=1である. n≧2 とする. 試行が回以上行われるのは, 1回目は、3枚中2枚が表で1枚が裏 であり,その確率は, 反復試行の確率 と同じ考え方により, となる. その上で、2回目は2枚とも裏である n-1回の試行の後に, 少なくとも1枚の硬貨が残っている場合 である.そこで,余事象の確率, すなわち, n-1回の試行の後に, 3枚の硬貨すべてが取り除かれている確率・・・① を考える. 1枚の硬貨に注目したとき,この硬貨がn-1回の試行の後に残っているのは, 1 \n-l n-1 回のすべてで表が出た場合であり,その確率は, である. これより, 2 1枚の硬貨に注目したとき, n-1 回後までに取り除かれている (残っていない) 確 率は, 1-1/2 である. 28+120=1(=q)となるので,②はn=1でも正しい。 ①で 「n-1回」のことを考えているので、(2)の 解答の2行目で、 「n≧2」と断っておいた (n=1 とすると,0回の試行になってしまうので)。 そこで、 ②で求めたQがn=1 でも正しいこと を確認した 確率は, 「題意を正しく捉えて状況を整理し, 冷静に、そして的確に処理をしていく力」が 求められる. “感覚” や “雰囲気” で解いていたら、いつになっても確率の得点は伸びていか ない(2)を考えたときに,出題者の要求を“感覚”ではなく、論理的に解釈して正解できた だろうか?次のように1つずつ丁寧に計算し、正解を導き出せばよい。 試行が回以上行われるための条件は, n回目の試行を行うときに硬貨が少なくと も1枚残っていることである.そのような確率が qm である. 「少なくとも~」という確率を求めたいから、余事象に注目する。余事象は, n回目 の試行を行うときに硬貨が1枚も残っていない, つまり, n-1回後までに3枚の硬貨 すべてが取り除かれてしまっていることである. (3枚の硬貨は独立であるから,まず1枚の硬貨に注目し、これが1回後までに 取り除かれてしまう確率Pを求めれば,余事象の確率はP3となる. (iv) ところで,Pはn-1回目までの試行で少なくとも1回裏が出る確率であるから、 Pを求めるときにも余事象 (n-1回の試行で毎回表が出る) に注目する. (v) qn の余事象の確率がP3であることから, n=1-P3となる. (2)が解けなかった人でも, (i)から (v)の考え方の手順を読んでしまうと,(2)がそれほど難し い問題ではないと気がつくだろう.しかしながら,Pを求めるところを求めるところの 2ヶ所で余事象の確率を利用するので,その部分で混乱して間違ってしまう可能性がある、 問題文に「少なくとも~」 と露骨に書かれていると多くの人が迷わずに余事象に注目するが、 「少なくとも~」 と書かれていなくても、題意を解釈した上で余事象に注目した方がよいと判 断すべき問題はよくある. 確率の問題では、余事象をつねに意識しておきたい。 文系 数学の必勝ポイント・ 余事象の確率 「少なくとも〜」と書かれていなくても、つねに意識しておく 1

この問題で、どうやって余事象A,Bを求めるのか分かりません。○で割り切れる、の○が変わったときどうやって解けば良いか、教えてください。

n 練習 232 さいころを繰り返し回投げて, 出た目の積を X とするとき,次の確率を求めよ。 (2) X が 10 で割り切れる確率 (1) Xが3で割り切れるのは, 少なくとも1回は3または6の目が 出るときであるから, 求める確率は「毎回1, 2, 4, 5のいずれか の目が出る」場合の余事象の確率である。 6 n =1 3 n (2) 余事象 「X が 10で割り切れない」は A: 偶数の目が1回も出ない \B5の目が1回も出ない とすると AUB また, A∩B は, 毎回1または3の目が出る事象であるから, 求める 確率は 1-P(AUB)=1-{P(A) +P(B)-P(A∩B)} ( 求める確率 ) =1- (Xが10で割り切 い確率)

これの（2）なのですが、 まず当たりが3本の時の確率を求める意味はわかるのですが、最後に、1から引く意味がわからなくて、（余事象なのは分かります） 何故1なのですか？ 全部の総数とか？じゃないんですか？

20本のくじの中に3本の当たりくじがある。 このくじを引くとき、 次の問いに答えよ。 (1)同時に3本引く場合, 少なくとも1本が当 たりくじである確率を求めよ 。 (2)同時に4本引く場合,当たりくじが2本以下である確率を求めよ。