この命題の対側
(2) 無限級数 1+ + +...+
1
3
n
命題が直
CHART
・対偶も
& GUIDE
ず再
ここで,m→∞のときぃ
となる。
∞
発 例題
展 37 無限級数が発散することの証明 (2)
(1)は自然数とする。1/12/10/
1
2
<<< 標準例題22
①①①
k=1k +1 を数学的帰納法によって証明せよ。
1
・+・・・・・・ は発散することを証明せよ。
無限級数が発散することの証明
(部分)> (∞に発散する数列)の利用
(2)(1)の不等式を利用する。
M
65
2
すると1/2
発展学習
2m
解答
1 n
(1)
k=1 k
・分子をnで割る。
IS
[1] n=1のとき 1/2=1+1/2=1/2
{a} は収束するか
限値は0ではな
(2)- 2m + 2k
+1 ...... (A) とする。
'+1 ゆえに, n=1のとき(A) は成り立つ。
[2]n=m(mは自然数) のとき, (A) が成り立つ、すなわち1+1が成り
2+1 これをくり返し
(
[
「
m+1
立つと仮定すると n=m+1のとき
' 1
21
21
m
1
1
+1
+
+
k=k k=1k
k=2+1k
2
2m+1 2m+2
2m+1
利
無限級
m
+1+
+
1
2"+1 2m+2
1
1
・+・ +
2"+2m
-I'
例題 37 (2)
m
1
m+1
+1+
•2m
+1
2
2m+1
2
よって, n=m+1 のときにも (A) は成り立つ。
これを示したい
[1] [2] から, すべての自然数nについて (A)は成り立つ。
21
(2) S=1/2" とすると, (1) から
m
+1
k=1 k
k=1 k
2
ここで,m→∞のとき
n→∞
m
ゆえに limSlim
n→∞/
るから,
S である。」
よって発散する!!
m
n=1 n
2
E
621
1 d
T
TRAINING
1
37 ⑤
00
2が発散することを利用して,無限級数Σ
n=1 n
m-00 2
追い出し
+1=8
0
1+2+2
=2m+1
m
2°+2+2+2
m
は発散することを示せ。
n=1
n
2m+2nt
m
[
22 +2.2"
M
=2(
