多様体の接空間に関する基底定理の証明です。g(q)=∫〜と定義した関数を微積分学の基本定理を用いながら変形してg(q)=g(0)+∑gᵢuⁱと導出するのですが、これがうまくいきません。 自分は、g(q)の式をまず両辺tで微分して、次に両辺uⁱで積分して、最後に両辺tで積分... 続きを読む

12. Theorem.If{ = (x', , x") is a coordinate system in M at p, then its coordinate vectors d, lp, …… 0,l, forma basis for the tangent space T,(M); and D= E(x) 。 i=1 for all ve T(M). Proof. By the preceding remarks we can work solely on the coordinate neighborhood of G. Since u(c) = Othere is no loss of generality in assuming ど(p) = 0eR". Shrinking W if necessary gives E(W) = {qe R":|q| < } for some 8. Ifg is a smooth function on E(W) then for each 1 <isndefine og (tq) dt du g(9) = for all qe {(W). It follows using the fundamental theorem of calculus that g= g(0) + E&,u' on (W). Thus if fe &(M), setting g = f。' yields f= f(P) + Ex on U. Applying d/ax' gives f(p) = (f /0x)(P). Thus applying the tangent vector e to the formula gives (f) = 0+ E(x'(p) + E Ap)u(x) = E(Px). ず ax Since this holds for all f e &(M), the tangent vectors v and Z Ux') d,l, are equal. It remains to show that the coordinate vectors are linearly independent. But if ) a, o.l, = 0, then application to x' yields dxi 0=24 (P) = 2q d」= 4. In particular the (vector space) dimension of T,(M) is the same as the dimension of M.

多様体の接ベクトルに関する性質の証明なんですけど、(1)が分かりません。 素直に訳すと、(1)は「多様体上の滑らかな関数fとgが点pの座標近傍で同じなら、その接ベクトルv(f)とv(g)は同じになる」だと思うんですけど、証明でf(p)=0,g(p)=1と明らかに異なる値をと... 続きを読む

11. Lemma. Let ve T,(M). (1) If f, ge F(M) are equal on a neighbor- hood of p, then Uf) = v(g). (2) If he F(M) is constant on a neighborhood of p, then u(h) 0. 三 Proof.(1) By linearity it suffices to show that if f = 0 on a neighbor- hood W of p, then u(f) = 0. Let g be a bump function at p with support in W; then fg = 0onall of M. But v(0)= u(0 + 0) = u(0) + u(0) implies v(0) = 0. Thus 0= (fg) = v(S)g(p) + f(p)v{g) = u(f), since f(p) (2) By(1) we can assume that h has constant value c on all of M. If 1 is the constant function of value 1, then 0 and g(p) 1. ニ (1) = (1.1) = (1)1 + lu(1) = 2v(1). Hence v(1) = 0, and v(h) = u(c· 1) = cu{1) = 0.

問題の解き方や、答えが分からないです。また、問題を解くために高校数学や大学数学のどの単元の知識が使われているのかも合わせて教えて頂きたいです。よろしくお願いします。

問(i)~(vi) に答えよ。 解答は解答用紙の所定欄に日本語で記すこと。 導出過程も簡潔に記す こと。 Let the function f(n) be defined as S(n) = cos? where n and 入 are positive integers (greater than 0). (i) Assuming n>1000 and 42 < 76, determine f(n). (i) Assuming is a prime number, determine the smallest n such that 『(n) = cos? %D

あまり理解ができていないので教えてほしいです。

1 次の文の( )に入れるのにふさわしい語を下の枠内から選びなさい。 1. He seemeda bit cold ( ), but I gradually got used to him. 2. An independent attitude is not always ( ) in Japan. 3. Children do not always ( ) their parents' concerns about them. 4. Do you have ( ) to park your car here? 5. It is natural to feel ( )in a new environment. 6. Japanese students tend to expect more ( ) from their host families. 7. Milk needs to be stored in the ( 8. Omotenashi can roughly be translated as ( 9. The grammar-translation method still ( ) language classes. 10. You should not forget that your main ( )is to study. initially appreciate attention refrigerator valued permission dominates uneasy hospitality purpose 2次の文の( )に入れるのにふさわしい語を下の枠内から選びなさい。 1. A( )from a new pizza restaurant was delivered today. 2. Bell peppers come in three ( ) colors. 3. Everything on these supermarket ( ) looks delicious. 4. Green peppers are picked before they ( 5. Other things being equal, ( ) tend to choose the cheaper items. 6. The different colors represent different ( )of growth. 7. The new restaurant is located ( ) the post office. 8. What are some ( )of eating lots of vegetables? 9. Yellow peppers contain more ( )than green peppers. 10. You can enjoy the different ( )of these vegetables. mature flyer nutrients flavors stages shelves benefits distinct opposite consumers

2行目のπはなぜ出てきたのでしょう

dretan 4 + ancten 号 ~4 号>1 = T+ uctan 1-4号 =x- ancten1= T-4=ネ* =T+ nctan

1枚目の問題なのですが、試行錯誤を繰り返しても |x－a| (0≦a≦1) の形がうまく作れず、2枚目の⑴にある連続の定義へうまく持っていけません… どうすれば良いでしょうか？

問題 2.9.実数 x に対し,{«} でx に最も近い整数との距離を表す.この時, [0, 1] 上の 関数の列 fnを {10kz} fn(z) = > 10k k=0 とおく、f(x) = lim, →o fn(a), r e [0,1] により定義される関数fは連続である事を示せ。

少し量が多いのですが、全くわからないので教えていただきたいです。 1. a barrier/ as / because / block / invasion / of / our / pathogens / serves / skin / the / to . 2前半.... 続きを読む

この問題の場合、CかDであることまでは分かるのですが、なぜDのthat では間違いなのでしょうか？

解です。今回は informed と of の間に immediately 「すぐに」 が入 っています。immediately は副詞なので、形のうえでは無視してき 空所直後は名詞(any equipment malfunction) なので、 (C)ofが近 - any equipment malfunction. It is imperative/Ahat a supervisor be informed 問題 035 問題 V sv C a ímmediately (A) within (B) beyond (C) of (D) that 1OEIC 4F ここで Itis imperative that a supervisor be informed any equipment malfunction. 解く! immediately ad 20 ○核心 35 inform がとる形 OHOT 動詞の語法がポイントです。 that 節内は、a supervisor がsで、be informed がvです。 inform の使い方は、tell 型でした (86ページ 「必殺技1」)。 “infom 人 of 物”「人に物を知らせる」、 “inform 人 that sv' の形 をとります。ここでは受動態なので、"人 is informed6f 物"か、 “人 is informed thatsv" の形になるはずです。 えます。

写真の(ⅲ)について質問です。 (ⅲ)の解答に rank(c_1 c_2 c_3)=3 といきなり書いてありますが、 見た目で直ぐに判断できるものなのでしょうか? c_1 c_2 c_3　から選び取れる1次独立なベクトルの組の最大個数とランクが等しいという定義が... 続きを読む

次の各組の数ベクトルは, R上線形独立かそれとも線形従属か. -2 (i) ai = a2 = a3 = -2 m+ 1 b2 b3 ニ m+1 ニ 1 m+1 0 (i) Ci = C3 = 0 a 1 da: a (iv) di a d3 ニ a a a a a 【ヒント】 定理8, 定理9を適用する。 1 -2 【解答】(i) det (a1, a2, a3) = 1 -2 = 0 -2 1 1 したがって, 定理8によりベクトル a1, a2, a3 は R上線形従属である. 1 m+1 (ii) det (b1, b2, bs) = 1 m+1 1 -m m+1 1 1 したがって, 定理8によりベクトル b1, b2, b3 は, m=0およびm=-3のときはR上 線形従属で,それ以外のときは線形独立である。 0 011 (i) dim {{c1, C2, C3}} = rank (ci, C2, Cs) == rank =3 =3 101 220 したがって, 定理9によりベクトル c1, C2, Cs は R 上線形独立である.

位置を2回微分すると、加速度になるんですか？

1OROY m m 0 0 9(t) 図1 単調和振動子。 復元力 F はF= ーky(t) であるとする.ここでk>0はバネ定数と呼ばれる与 えられた物理量である. ニュートンの法則(カ=質量× 加速度) を適用すると, ーky(t) =D my" (t) が得られる。ただしy" という記号でyのtに関する 2階導関数を表すものとす る。c= Vk/m とおくと, この2階常微分方程式は g"(t) +c9(t) =D0 となる。方程式(1) の一般解は, a, b を任意定数として 9(t) = a cos ct+bsinct により与えられる。明らかに, この形の関数はすべて方程式 (1) の解になってい る。そしてこの形の解のみがこの微分方程式の 2回微分可能な解になっている。 その証明の概略は練習6で述べる。 上述の y(t) を表す式のなかで, cは与えられた定数であるが, a, bはどのよ うな実数でもかまわない. この方程式の特別な解を決める場合, 二つの未知定数 a, b を考慮に入れた二つの初期条件を課さねばならない. たとえば物体の最初の 位置 y(0) と初期速度 y/'(0) が与えられれば, 物理的な問題の解は一意的となり, y(0) sin ct 9(t) = y(0) cos ct + C により与えられる. 容易にわかることであるが, ある定数 A>0と φERで, a cos ct + bsin ct = Acos (ct - 4) をみたすものが存在する. 上に述べた物理的な解釈に基づいて, A= Va? +6? をこの運動の「振幅」 cを「固有振動数」 (aを「位相| (これは ?Tの整数倍