回答ありがとうございます。一様収束を使うのですね。
確認ですが、上の問題の解答は、以下の画像のようになるのでしょうか？

一行目から二行目とした根拠はなんでしょうか

n→∞ のとき、fn(x) → f(x)
であることを使いました。

それだとまずいです。

n→∞ のとき、fn(x) → f(x)
はfnがfに各点収束するということです。
このときに上の議論が正しいとすると、各点収束から一様収束が導けることになります。
一般に一様収束⇒各点収束ですが、逆は成り立つとは限りません。
ゆえにそれでは証明になっていません。

確かに fn(x)→f(x) は各点収束ですね。
ご指摘ありがとうございます。
では具体的にどのように証明すれば良いでしょうか？

上にも書いた通り、
一様収束のコーシーの判定条件
もしくは(実質同じですが)
ワイエルシュトラスのM判定法
で示せます。

一様収束のコーシーの判定条件を使って、下の画像の状態まで解き進めてみました。ここからどうすれば良いでしょうか？それとも途中式自体が違うのでしょうか？

ここまではOKです。
0≦sup|Σ～|≦○
として挟み撃ちでlimsup=0を示します。

任意の実数aに対して
{a}≦1/2
であることを利用して不等式を立てます。

ヒントの提供ありがとうございます。
一応、最後まで書き切りましたが、記述はこれでOKでしょうか？

OKです

確認ありがとうございます。
そしてここまでお付き合いいただき、ありがとうございました。
おかげで問題を解くことができました。