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f(x)=f(0) +
f'(x+
2!
Rn(x) =
1!
r(@s+...
f(n)(0zzn (001)
n!
f" (0) x2 +... +
44
マクローリン展開
第2章 微
f(x) が0を含む開区間 I で無限回微分可能(すべ
てのnに対してn回微分可能) であるとき, 任意のæ∈I と任意のnEN
に対して
2.4 テイラーの定理
45
【解】 (1) を示す. 例18より Rm (z) =
0x
n!
-T” だから1章例題2より,
f(n-1) (0)
0x
-x-1
(n-1)!
+ Rn(x),
|Rn(x)|=
=
n!
||
xn
"ex -
n!
→0 (n→ ∞)
f(x)は
をみたす 日=日(π,n) が存在する. ここでもしRn(x)0 (n→∞)なら
->
f'(0) f" (0)
f(x)=f(0) +
-x+
22
+･･･ +
f(n) (0)
-xn
1!
2!
n!
+...
と無限級数で表される. 右辺の無限級数を f(x) のマクローリン展開ある
はマクローリン級数という(級数については6章を参照のこと)。
は証明を省略する (6章 6.4 節参照).
問21 例20の (2) (3) を示せ.
注eのマクローリン展開 (1) において,π=i0 (iは虚数単位; i = √-1) と
おくと, sin π, cosæ のマクローリン展開 (2), (3) から
eid=cos0+isin O
が得られる.これをオイラー (Euler) の関係式という.
となり結論を得る。 (2), (3) も同様に示される。 (4), (5) の証明には、 定理 12
において別の形の剰余項(コーシーの剰余など) をとる必要がある. ここで
例20
T
xn
(1) ez=1+
+
+
+
n!
(-x<x<∞)
問22|x|<1のとき次の級数展開が成り立つことを示せ。 ( 6章定理1参照)
I
2.5
2n 1
(2) sin x =
+
1
3!
・+ (−1)n-1.
5!
+...
(2n-1)!
log 1+2=2(x+++...)
3
5
(-x<x<∞)
x2n
+
....
+ (−1)".
[( 2n) !
·+(-1)n−12
+･･･
(-∞<x<∞)
x2
24
(3) cos x = 1-
2!
4!
x2
(4)log(1+z)=x_
x3
+
2
3
n
1.3...(2n-3)
2.4... (2n)
(−1<x≤1)
(5)(一般の2項定理)
| ネイピアの数とオイラー
は任意の実数とする.
+(-1)^-
「対数」という言葉はネイピアが導入した. オ
イラーは級数
(1+m) = 1 + -
a
a(a-1)²+
1 1
1
2!
1+ + +・・・+
1! 2!
ala-1)...(a− n + 1)
(Iml<1)
を考え、その和をeで表した.また,その数値を計算し,eを底とする対
問23|x|<1のとき次の級数展開が成り立つことを示せ.
1
(1)
(1+m)2
= 1-2x+3x²
-....
.+ (−1)"(n+1)x" +...
(2) V1 +æ=1+zx-
1
1
2
x²
2.4
2
1.3
+
2.4.6
2.3
