基底の変換と表現行列 f:R" → R" を線形写像とし, R", R" の基底と
して次のものをとる.
R" の基底として
{U1,U2,...,un}と{u1,ぴ^2,...,un}
R™ の基底として{v1, 2,...,ぴm}と{v1, 2,...,vm}
そして,それらの基底の間の関係を
(ui
un) = (u1
un) P, (v1… vm) = (v1... vm) Q (*)
と表すと, 行列 P および Q は正則行列である (問題4-2の4を参照) 行列
P,Qを基底の変換行列という.このとき,次の命題が成り立つ.
|命題 4.2 f: R" → R" を線形写像とし
基底 {u1, 2,..., un},{V1, 2,..., vm}に関するf の表現行列を A
vm}に関するfの表現行列を
基底{ul, u'2,...,un},{1, 2,...,'}に関するf の表現行列を B
とし、基底の間の関係 (*) を仮定すると,
B=Q-1AP
である.
[証明] (*) の第1式と fの線形性および表現行列 A の定義より
(f(u₁)
=
=
f(mm))
= (f(p111++Pn1un)
f(pinui + + Panun))
(p11f(u1) +... + Pnif(un) ... pinf(u1)+.
pinf(u1) +... +Panf(un))
= (f(u₁) ... f(un)) P
