無限級数の範囲です。 検討の赤の下線部についてなのですが、例えばp＝1の時発散してp＝2のとき収束するのは、p＝2の時の方が分母が大きくなるスピードが速いからなのですか？ 違いを教えて欲しいです

kx +1 ① とする。 [1] n=1のとき 21/2=1+1/2=1/2 +1 よって, ① は成り立つ。 [2]=mmは自然数のとき、①が成り立つと仮定すると+1 「このとき 2m 2m+1 21-21+1 k=1 k k=1 k k=2+1k 1 2(+1) +2 +1 +2 +2 2" + + 2m+1 2+1+2+1+2+2 +......+ 1 >" +1 + pos.2" = m+1 +1 2 2m+1 2 ·2"= よって, n=m+1のときにも①は成り立つ。 1 2m +2m 2m+1=2m2=2"+2" 1 2+2+2 (2) 2m+k (k=1,2, 2m-1) [1] [2] から すべての自然数nについて ① は成り立つ。ちとする (2) S=1/2とおく。 n≧2" とすると, (1) から k=1k Sn m +1 k=1 k limS=∞ 2218 ここで,m→∞のときn→∞ で lim lim(+1)=00 2 m10 8 と したがっては発散する。 n=1 n 無限級数1/n の収束 発散について lan≦bn liman=8⇒limbn= (p.343②) 881 00-16 数列{an} が 0 に収束しなければ,無限級数 2 am は発散するが(p.61 基本事項2②),こ n=1 無限級数 46 の逆は成立しない。 上の (2) において lim -=0であることから,このことが確認できる。 ugu なお n' >1のとき収束, ≦1のとき発散することが知られている。 練習 上の例題の結果を用いて,無限級数方 は発散することを示せ。 p.81 EX 32 5

青チャート数学Ⅲ77ページの練習45です 重要例題45の⑵と同じ様に 練習45もこのようにやったら間違いですか？

(1) すべての自然数nに対して、1+1が成り立つことを証明せよ。 1 1 k=1 1 (2) 無限級数1+ n + +....+ +...... は発散することを証明せよ。 2 3 ・基本 34, 重要 44 指針 (1) 数学的帰納法によって証明する。 (2) 数列{1} は0に収束するから、p.63 基本例題 34のように,p.61 基本事項 ② を利用する方法は使えない。 そこで, (1) で示した不等式の利用を考える。 n2" とすると k=1 k k=1 1/11/ 4 ここで,m→∞のときn→∞となる。 (1) k ≥1/12+1 ① とする。 無限級数 阻 解答 [1] n=1のとき k=1k 1/2=1+1/2=1/1/3+1 よって, ① は成り立つ。 +1 [2]n=m(m は自然数)のとき,①が成り立つと仮定すると100+ このとき 2 11+1 k=1 k (+1)+2+1 2m+1 k=2m+1 k 1 1 + ++ 2m+2 2m+1 > m2m2 1 1 +1+ + ++ 2m+1 2m+2. 2m+2m_ 1 m+1 +1+ .2m= +1 2m+1 2 よって, n=m+1のときにも ① は成り立つ。 1 12m+1=2m2=2"+2" 1 1 2m+1 2+2+2 (2+) 2m+k (k=1, 2,., 2-1) [1] [2] から, すべての自然数nについて①は成り立つ。 (2)S=2とおく。 n≧2" とすると, (1) から k=1 k m m Sn≥ +1 ここで,m→∞のときn→∞ で lim (7/27 +1)=0 .. limSn=∞ m-oo 8012 したがっては発散する。 an≦bnでliman=∞⇒limbn=∞ (p.343②) 72-00 12-00 n=1n 重45の結果を開いて、無限級数学は発散 0 (2)より、 m を示したい 同様に n Th=8とおく。≧とすると、 k=1 12/2計++言を計計+2より 2m m Th≥ 8 +1 : lin Th=00 " 題意は示された

調和級数の発散することについての証明の問題です。 ⑵でやりたいことは、Snがm/2+1より大きいから、右辺発散する→左辺の級数も発散するみたいにしたいからなのは分かります。n>=2^nと書くのではなく、nを2^nにおきかえるとと書いたらだめなんですか？

重要 例題 (1) すべての自然数nに対して、 (2) 無限級数1+1/2/2 1 3 k=1 k 1 n 45 無限級数1/n が発散することの証明 2 n 1/12 172 +1が成り立つことを証明せよ。 77 000 + +......+ -+...... は発散することを証明せよ。 基本 34. 重要 44 はさみう 分の公比) (1)数学的帰納法によって証明する。 (2) 数列 列{1} は0に収束するから、p.63 基本例題 34のように、p.61 基本事項2② を利用する方法は使えない。 そこで, (1) で示した不等式の利用を考える。 2 とすると = ここで,m→∞のときn→∞となる。 2章 無限級数 [1] n=1のとき ① とする。 21 k=1k 数学II) =0 Crab とする。 k=1 (1)= +1 ...... 解答 的帰納法を利 も考えられる カード の計算 = 1+1/28-1/3+1 よって、 ① は成り立つ。 [2]n=m(m は自然数) のとき,①が成り立つと仮定すると1/21 このとき 2m+1 2m+1 1 + k=1 k k=1 k k=2+1k -xn -x ≥ -nx" (+1)+2+1+2+2 1 ++ 2m+1 x)S 1 m +1+ 1 + x" (1-x) 2 2m+1 2+2 +::::+ 2m+2m -x m 1 m+1 <2m+1=2".2=2+2" 1 ・+1+ •2m +1 2 2m+1 2 2m+k 2m+2m 2m+1 n+1) 2 ="+nx+1 (2)=21/2とおく。2" とすると, (1) から k →∞のときn→∞で ここで,m→ m 2 よって, n=m+1のときにも①は成り立つ。 (k=1, 2,..., 2"-1) [1], [2] から, すべての自然数nについて ① は成り立つ。 2m 1 m ・+1 k=1 k 2 →∞ lim +1=8 limSn=∞ 118 里 き、 したがっては発散する。 an≦bn liman=∞⇒limbn=∞ (p.343②) →∞ 8122 n=1n なら amil 無限級数1/n”の収束・発散について 数列{a} が 0 に収束しなければ,無限級数 2α7 は発散するが (p.61 基本事項2②), こ 検討 80 n=1 の逆は成立しない。 上の (2) においてlim=0であることから,このことが確認できる。 U 00+u n なお,2は>1のとき収束, p≦1のとき発散することが知られている。 (S) n=1 n' 二大] 練習 80 ④ 45 上の例題の結果を用いて,無限級数 は発散することを示せ。 p.81 EX 32 n=1 31\

どう展開したら線部のひとつ前の式から線部の式になるのでしょうか？

360 第6章 微分法 Check 例題 考え方 練習 197 解 Flocus *** 曲線 y=x2 上の点P(α, α²) における法線と, この曲線との交点の うち, 点Pでない方を点Qとする.ただし, α = 0 とする. (2) 点Qの座標を求めよ. (1) 法線の方程式を求めよ. 197 接線に垂直な直線(法線) 接点で接線と垂直に交わる直線を法線と呼ぶ. (詳しくは数学Ⅲで学習) 点P(α, f (a)) における法線の傾きをmとすると, 接線の傾きが f'(a) 0 のとき, JA m·f'(a)=-1 つまり, m=-- 1 f'(a) f'(x)=2x (1) f(x)=x2 とおくと, より, 点Pにおける接線の傾きは, f'(a)=2a したがって,点Pにおける法線の傾きをmとすると, m・2a=-1より, 1 2a (a=0) よって, 点Pにおける法線の方程式は, m=- 2a, (2) 曲線 y=x2 と直線y=- を消去して、x=-2ax+1+1/12 x² = − 12 / 2x + a² + 1/1/2 より, (x-a)(x+a+ 1=0 となる. 1 y-a²=-2 (x-a) 2b, y=-2 / 4x + a² + 1 / 1 D, 2a 2 2/2x+a+1/1/2 の交点は,y +a²+· 1 2a 法線 1 (-a-2a² 4a² SLEI 1 S 注点(a, f(a)) における接線の傾きが0であった場合は, 右の図のように, 接線 y=f(a), 法線: x=α となる. まず,接線の傾きを 考える. (接線の傾き) × ( 法線の傾き) =-1 接線 したがって, x=a, -a- \2 x=-a- a121のとき、y=(-a-12/12)=a+1/+14 点Qのx座標は =x²+ 4a² 1 -a- よって, 点Qの座標は, 2a a²+ | 連立方程式を解いて 交点のx座標を求め る. 左辺に移項して因数 分解 点Pも交点の1つで あるから, x=a も 解になっている. 接線の傾き f'(a)(0) 法線の傾き 法線の傾き fla) f' V₂ (a,f(a)) y=f(a) x=a 曲線 y=x2-2x 上の点P(a, a²-2a) (a≠1) における法線の方程式を求め また、この法線と曲線との交点のうち点Pでない方の点Qの座標を求め よ. → p.361 8 Step I Cマークの問題 1 次 (1 S ←p.340 2 ←p. 341 S 3 ←p. 343 S C S 4 ←p.352 C 5 S ←p.35 c_ S ( ←p. →p. S C

青チャート数1+Aのp.343の練習問題の(2)がわかりません。解説を読んでも分からなかったので 誰か教え下さい。

1 承 記1 図2 贈と図2 は非般の目状の道路とし、 すべて等間司であるとする。 () 較!において 点A から点 B に行く最短経路は全部で何通りあるか。また. このうち次の条件を満たすものは何通りあるか。 (の 点Cを通る。 (《⑰ 点C と点Dの両方を通る。 人 点Cまたは点 D を通る。 四 点Cと点Dのどちらも通らない。 () 図2において, 点A から点 Bに行く最短経路は全部で何通りあるか。ただ し 八線の部分は通れないものとする。 ( 九州太 p.354 EX25 、