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|重要 例題 164 三角形の面積の最小値
面積が1である△ABCの辺AB, BC, CA上にそれぞれ点D, E,F を
AD: DB=BE:EC=CF:FA=t: (1-t) (ただし, 0 <t<1) となるように
る。
(1) △ADF の面積をtを用いて表せ。
基本158
(2) △DEF の面積をSとするとき, S の最小値とそのときのtの値を求めよ。
指針 (1) 辺の長さや角の大きさが与えられていないが, △ABCの面積が1であることと、
△ABCと△ADF は ∠A を共有していることに注目。
RAHO
△ADF == ADAF sin A
1/2/AD
AABC= =1/12 AB・ACsinA (= 1),
(2) △DEF=△ABC-(△ADF+△BED+△CFE) として求める。 ・・・・・・・・・!
Sはtの2次式となるから, 基本形 α(t-p)'+αに直す。
ただしtの変域に要注意!
解答
(1) AD=tAB, AF=(1-t) AC
検討
であるから
D
1-1
AADF=
AD AF sin A
2
/F
-t(1-t) AB AC sin A
2
AABC=
-AB・ACsin A=1
2
よって
AADF=t(1-t). ABAC sin A
B
C
1
1801-00 (*) 3t²-3t+1=3(t²-t)+1
=t(1-t)
(2)(1) と同様にして ABEDACFE(1-t)=3{p-t+(1/2)^-1 (1)
よって
S=△ABC-(△ADF + △BED+△CFE)
SS=3f-3+1
=1-3t(1-t)=3t²-3t+1=3t-
1 = 3 ( + - -1/2 ) ² + 1/ 1 (*)
1
ゆえに, 0<t<1の範囲において, Sは
t=1/2のとき最小値- 1
をとる。
最小
(D,E,F がそれぞれ辺 AB, BC, CA の中点のとき最小となる)
1
1
2
1辺の長さが1の正三角形ABCの辺AB, BC, CA 上にそれぞれ頂点と異なる点
練習
③ 164 D, E,F をとり, AD=x, BE=2x, CF=3x とする。
16 (1) △DEF の面積Sをxで表せ。
[類 追手門学院大]
(2) (1) Sを最小にするxの値と最小値を求めよ。
p.264 EX120
1-t
DE C
Bt E1-t-
一般に
AAB'C'
△ABC
140
2007
B'
AB' AC'
AB AC
A
C'
基本
1辺の長さが60
M,NをOL=S
を求めよ。
AOL
指針> ALMN に
まず, 余弦
なお,正四
CHART
解答
I AOLMにおいて
LM2=OL2+ON
=32+42-
OMN におい
MN²=OM2+C
........
=42+22-
AONLにおい
NL2=ON2+C
ゆえに
よって
