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基本題 29 漸化式と極限 (4)･･･ 連立形
00000
P1(1, 1), Xn+1=
1
4
4
-xn+
yn, yn+1=
5
3
4
5
=2xn+1/yn (n=1,2)を満たす平
面上の点列 Pn(xn, yn) がある。 点列 P1, P2,
くことを証明せよ。
はある定点に限りなく近づ
指針 点列 P1, P2,
解答
[類 信州大〕 p.36 まとめ, 基本 26
がある定点に限りなく近づくことを示すには, lim xn, limy がど
もに収束することをいえばよい。 そのためには,2つの数列{x}, {yn} の漸化式から,
Xn, yn を求める。 ここでは,まず,2つの漸化式の和をとってみるとよい。
(一般項を求める一般的な方法については、解答の後の注意 のようになる。)
Xa+1 = 1/4 x + 1/13/
-xn+
①+②から
P1(11) から x+y=2
3
xn+
yn
(2)
x=1,y=1
5 Yn
①, yn+1=
Xn+1+yn+1=xn+yn
よってxn+yn=Xn-1+yn-1=......=x+y=2
ゆえに yn=2-Xn
11
8
1
これを① に代入して整理すると
Xn+1=-
xn+
xn+1=-
20
5
32
11
32
特性方程式
変形すると Xn+1
Xn
31
20
31
11
8
Q=- a+
の解は
20
5
32
1
また
X1-
==
31
1+0=6
32
31
a=
31
32
32
ゆえに
xn-
31
1 数列 xn-
20
31
32 1
よって
limxn=lim
7118
31 31
また
n→∞
n→∞
limyn=lim(2-x)=2-
2)=32
11 \n-1
31'
20
11. A-10
11
公比
の等
20
31
比数列。
32
30
31 31
y=2x から。
したがって, 点列 P1, P2,
32 30
*****
31
31
は定点 (2220) に限りなく近づく。
注意 一般に,x=a, yi=b, xn=pxn+gyn, yn+1=rxn+syn (pqrs≠0) で定められる数列
{x},{yn} の一般項を求めるには,次の方法がある。
方法1 X+1+αyn+1=β(x+αyn) として α,βの値を定め、等比数列{x,+yn} を利
用する。
方法2 yn を消去して, 数列{x} の隣接3項間の漸化式に帰着させる。 すなわち,
1
xn+1=pxn+qyn から yn=Xn+1
P
-Xn
よって yn+1=
Xn+21
Xn+1
q
q
q
これらを yn+1=rxn+syn に代入する。
