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0000
基本例題 62 x+x+1で割ったときの余り
f(x)=x80-3x40 +7 とする。
の1次式
(1) 方程式x2+x+1=0の解の1つをω とするとき, f (w) の値をωの1
表せ。
(2) f(x) を x2+x+1で割ったときの余りを求めよ。
基本 53.61 重要 55
指針f(x) は次数が高いので、値を代入した式を計算したり、割り算を実行したりするのは
い。 ここでは,これまでに学習した、次の方針に従って進める
高次式の値 条件式を用いて次数を下げる
割り算の問題等式 A =BQ+R の利用。 B = 0 を考える
ω'+ω+1=0
(1) は x2+x+1=0の解であるから
これを用いてまずの値を求め、その値を利用してf(ω) の式の次数を下げる。
(2) 求める余りはαx+b と表されf(x) = (x2+x+1)Q(x)+ax+b
これにx=ω を代入すると f(w)=aw+b
Q(x) は商
解答
(1) は x²+x+1=0の解であるから
よって
w²=-w-1, w²+w=-1
w²+w+1=0
また, 80=3・26+2, 40313+1 であるから
(*) w³-1
3a+s=(w-1)(w²+w+1)=0
eee²=(a-1)=-(ω^+c)=(-1)=1) から1としてもよい。
は1の虚数の3乗根であ
る。
f(w)=w8⁰-3w40 +7=(w³) ²6 w²-3(w³) ¹³.w+7
=126.(-ω-1)-3・13・ω+7=-4ω+6
(2) f(x) を x2+x+1で割ったときの商をQ(x), 余りをax+b
(a,bは実数) とすると
練習
f(x)=(x2+x+1)Q(x)+ax+b
ω'+ω+1=0であるから
(1) から
-4w+6=aw+b
α, b は実数は虚数であるから a=-4, b=6
したがって 求める余りは
-4x+6
f(w)=aw+b
が成り立つ。
次数を下げて1次式に。
[参考] a b c d が実数, zが虚数のとき
① a+bz=0
⇔ α = 0 かつ b = 0
② a+bz=c+dz ⇔a=c かつ b=d
[証明] [①の証明] (←) 明らかに成り立つ。
(⇒) b=0 と仮定するとz=-
:=-1
このとき a=0
b=0
よって
② の証明は、(a-c)+(b-dz=0 として上と同様に考えればよい。
なお、上の①②は、p.62の①②を一般の場合に拡張したものにあたる。
2018をx²+x+1 で割ったときの余りを求めよ。
→ (2)
A=BQ+R
割る式B=0 を活用。
下の参考② を利用。
S
左辺は虚数,右辺は実数となるから矛盾。
基
3次
定業
指針
解
-18
(-1)
すな
これ
よっ
左辺
した
別解
fC
(x
右
こ
し
xC
*
E
C
