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(2) 辺BC, AC, AD, BD の中点をそれぞれP, Q, R, S とするとき, 四角形
指針>(1)(ア) 直線と平面の垂直に関する,次の定理(p.457 基本事項4)を利用する。
2直線の垂直,直線と平面の垂直
基本 例題 98
459
の辺 ABの中点を Mとする。
辺AB は平面 CDM に垂直である。
(イ) 辺 AB と辺 CD は垂直である。
PQRS は正方形である。
(p.457 基本事項 [2, 4
直線んが,平面α上の交わる2直線に垂直 = 直線h上平面 a
平面 CDM上の交わる2直線CM, DM に対し, ABICM, ABIDM を示す。
)直線ん1平面 α→ 直線hは平面 α上のすべての直線に垂直
したがって,(ア)が示されれば直ちにわかる。
(2) PQ=QR=RS=SP はわかりやすい。後は, 1つの内角が90°であることをいいたい。
そこで「平行な2直線の一方に垂直な直線は他方にも垂直である」 ことを利用する。
(1)()より AB1CD であるから,このこととAB/PQ, CD/ QR より PQ上QR
3章
16
空
間
解答
図
(1)(7) CM, DM はそれぞれ, 正三角
形 ABC, ABD の中線であるから
CMIAB, DMIAB
よって,辺 ABは平面 CDM に垂直
である。
)(ア)から
2) 正四面体の各面の正三角形において,
中点連結定理から
PQ=QR=RS=SP
また, AB/PQ,AB/RSから
A
形
正三角形または二等辺三角
形の中線は,底辺の垂直二
等分線と同じ。
M
B
ABICD
辺 CD は平面 CDM上にあ
C
る。
4辺とも正四面体の辺の半
分の長さ。
R
D
PQ/RS
よって, 4点P, Q, R, S は同一平面
上にある。
更に, CD/QRでもあり, (1)の(イ) から
P
S
(平行な2直線で平面が定ま
る。
B
中点連結定理
ABICD
PQ/AB, ABICD
ゆえに
PQIQR すなわち ZPQR=90°
→PQICD
合辺の長さが等しく, 1つの内角が 90° であるから, 四角形
PQRS は正方形である。
QR/CD, PQ上 CD
→PQIQR
AABC を含む平面をαとし, △ABC の垂心をH
| とする。垂心Hを通り, 平面αに垂直な直線上に点
Pをとるとき,PALBCであることを証明せよ。
(p.466 EX68, 69
A
H
B
