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重要 例題35 数字の順列(数の大小関係が条件)
次の条件を満たす整数の組 (a1, a2, as, a4, as) の個数を求めよ。
O000
2) 0SaSa2Sasma_ハass3
(1)0<a」<az<as<as<as<9
(3)ataztastastass3, ai0 (i3D1, 2, 3, 4, 5)
め
基本3.34
指針>(1) ai, a2, ………, as はすべて異なるから,1, 2, ·…, 8の 8個の数字から異なるう
(2)(1)とは違って, 条件の式に を含むから, 0, 1, 2, 3の 4個の数字から重複をお。
●場
を選び、小さい順に ai, Qe, … , as を対応させればよい。
→ 求める個数は組合せ。Csに一致する。
に
asを対応させればよい。
て5個を選び、小さい順に a1, a2,
求める個数は重複組合せ Hs に一致する。
(3) おき換えを利用すると, 不等式の条件を等式の条件に変更できる
3-(a+aztast+astas)=b とおくと ataztas+as+as+b=3
また, ataztas+astas£3から
よって,基本例題 34(1) と同様にして求められる。
一等式
620
解答
検討
(2), (3) は次のよ
順に a, a2, ……, as とすると, 条件を満たす組が1つ決まうにして解くこともできょ
(2) [p.348 検討の方法の利
用) 6:=a;ti(i=1, 2,1
4,5)とすると,条件は
0<b」くbaくbょくり、くらく
と同値になる。よって、
(1)の結果から 56個
(3) 3個の○と5個の仕切
「を並べ,例えば、
1O||00|| の場合は
(0, 1, 0, 2, 0)を表すと
| 考える。このとき,
A|B|C|D|EIF
8の8個の数字から異なる5個を選び, 小さい
る。
C,=&Cs=56 (個)
よって,求める組の個数は
(2) 0, 1, 2, 3 の4個の数字から重複を許して5個を選び, 小
さい順に a, a2, ………, as とすると, 条件を満たす組が1つ
決まる。
よって, 求める組の個数は
(3) 3-(a」+az+astastas)=bとおくと
ataztastastas+6=3,
a20(i=1, 2, ,3, 4, 5), b20
よって, 求める組の個数は, ① を満たす0以上の整数の組の
個数に等しい。これは異なる6個のものから3個取る重複組
合せの総数に等しく
別解 a+az+as+a,+as=k(k=0, 1, 2, 3) を満たす0以
上の整数の組(a, a2, as, a, as) の数は Hx であるから
sHo+sH」+sH2+sHs=,Co+sCi+.C2+,Cs
H,=+5-1C,=C5=56 (個)
とすると, A, B, C,
Eの部分に入る○の数をそ
れぞれ a, C, as, Cn a
とすれば組が1つ決まる
sCg=56 (個)
6Hs=6+3-1Cg=&Cg=56 (個)
ら
=1+5+15+35=56 (個)
