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基本 例題 73 標本平均と正規分布
体長が平均50cm, 標準偏差 3cm
の正規分布に従う生物集団があるとする。
(1) 4個の個体を無作為に取り出したとき, その標本平均が53cm以上とな
る確率を求めよ。
(2)16個の個体を無作為に取り出したとき, その標本平均が49cm 以上
51cm以下となる確率を求めよ。
p.460 基本事項 2
HART & SOLUTION
X-m
正規分布 N(m, o²) はZ="
で標準化
0
母集団が正規分布 N(m, oz) に従うとき, 標本の大きさが大きくなくても、常に Xは正
規分布 Nm, に従うことが知られている。 (1) では, 母集団が正規分布 N (50, 3)
2
うから,大きさ 4の無作為標本の標本平均Xは正規分布 N (50, 2)に従う。
解答
(1)標本平均Xは正規分布 N (502) に従う。よって,
X-50
3
A2 H
z=- とおくと,Zは標準正規分布 N (0, 1) に従う。 正規分布表を利用でき
ゆえに
P(X≧53)=P(Z≧2)=0.5-p(2)
=0.5-0.4772=0.0228
(2) 標本平均 Xは正規分布 50.6 に従う。よって、
る。
inf 母集団が正規分布に
日本 例題 74
標本
(1) 箱の中に製品が多
いう。この箱の中か
れる不良品の率 RO
(2) ある地域では,親
る。この地域で,
の男子の割合を
を求めよ。
CHART & SOLI
母比率の母集団から
期待値 E(R)
(2) 標本の大きさ
に従う。 このこと
解答
(1)母比率は
標本の大き
よって, Rの
また, R の標
(R)=1
従わない場合でも大きさ
の無作為標本の標本平均
(2)母
X-50
Z=
3
4
とおくと, Zは標準正規分布 N (0, 1)に従う。 X は, nが大きいとき、近
似的に正規分布
ゆえにP(4951)=(-13sz=142)=2p(1.33)
=2×0.4082=0.8164
moに従う。この
ことは,下の中心極限定理
により導かれる。
標本の大き
よって, RO
また、Rの
TAC-6(R)=
INFORMATION
中心極限定理
確率変数 X1,X2, ······, X, は互いに独立で, 平均値が,分散が2の同じ分布に従
うものとする。 このとき, X1+X2+......+Xn を標準化した確率変数
(X1+X2+・・・・・・+X-nm) すなわち Z==
X-m
no
の分布は,nが十分大きいとき, 近似的に標準正規分布 N (0, 1)に従う。
PRACTICE 2
73
母平均 120, 母標準偏差30をもつ母集団から,大きさ100の無作為標本を抽出すると
その標本平均Xが123より大きい値をとる確率を求めよ。
PRACTIO
ある国の
の内閣の
1√6=2.
0
よって、 標
従う。ゆえ
正規分布
よって
