相
応用問題
(1) 次の定積分の式が成り立つことを証明せよ.
f(x-a)(x-B)dx=-(-a)³
6
y=x2+3.x と y=2x+1 で囲まれた図形の面積Sを求めよ.
(1)は通称「6分の1公式」 と呼ばれる有名な公式です. まずこれを
証明してみましょう。(2)は平凡な求積問題に見えますが、まともに
やろうとすると計算が手に負えなくなります. ここで, (1) の公式が絶大な威力
を発揮するのです.
解答
(1)(左辺)=f(x²-(a+B)x+αB}dx=
1
-23.
(a+b)x²+αẞx
1/12 (α)/1/27 (+B)(B2-α2)+αB (B-a) 次数ごとに引き算
3
2
1
=(Ba) (ẞ²+aẞ+a²) - (a+B)² (B-a)+aß(ß―a)
==
3
1
6
2
= (B-α){-2(B2+αB+α2)+3(a+β)2-6αB}B-αでくくる
1/10 (B-α)(B2-2aB+α²)=1/2(B-α)=(右辺)
よって,示せた.
(2) y=x2+3.x と y=2x+1 の交点を求めると
x2+3.x=2x+1,x'+x-1=0 ①
より
x=
ここで
-1±√5
21-199
-1-√√5
Q=
2
-1+√√5
B=
2
とおくと,α,Bは①の解なので、①の左辺は
x'+x-1=(x-a) (x-β) ...... ②
と因数分解できることに注意する.
||
y=x+3x
ly=2xc+1
||
面積を求める図形は、 右図のようになる.
2
-1+√5
2
