332-
練習 2の累乗を分母とする既約分数を,次のように並べた数列
③ 30
1 1
3 1
3
57
1 3
5
15
8
2'4'4'8'8
8'16'16' 16
16'32'
×
について,第1項から第100項までの和を求めよ。
類
分母が等しいものを群として,次のように区切って考える。
31 3
11
24' 48'8'8
5 7 1 3 5
816'16'16'
15 1
16325
第k群には 2-1 個の項があるから, 第1群から第n群までの
(2)
21
項の総数は
1+2+2+････ +2n-1=
2"-1
2-1
(S++)
=2"-1
←初項1,公比2, 項数n
C
第100項が第n群の項であるとすると
等比数列の和。
い
AUTUR
2-1-1<100≦2"-1
......
①
練
2-1-1は単調に増加し, 26-1=63, 2′-1=127 であるから,
①を満たす自然数 n は
n=7
第6群の末項が第63項となるから
100-63=37
したがって,第100項は第7群の第37項である。
ここで,第n群の項の和は
3
(1)
←2°-1=63
1
2n
-{1+3+ + (2"-1】
•
2” 2
=27-2
•2"-1{1+(2"-1)}
←
第群の分子の
m
和で,初項 1, 末項 2"-1.
更に、各群の番目の項の分子は2k-1である。
よって, 求める和は
{(-)項数 2"-1 等差数列の乱
←1+(k-1)・2=2k-1
6
22-2+
1
k=1
27
{1+3+....+(2・37-1)}
k=1
2
k=1
(L
=
126-1 1
.
2
2-1 128
+
•63+
2
=
11/163+
128 128
1369
・372
5401
←1+3+5+......
+(2n-1)=n²
