92 指数関数の積分
次の定積分の値を求めよ.
(1) fe* (e*+1)² dx
②Sites
dx
(3)Sore dr
指数関数のゴチャゴチャ型です。 積分においてeのもつ最大の利
精講
益は「(e*)'=e"」 ですが, その理由は
何かをひとまとめに考えたとき,その微分がかけてあれば、
必ず置換積分ができる
からです (89 注)ただし,この基礎問も単にこの知識だけでゴールに着け
るわけではありません.
解答
(1) S'e (e+1)' dz において, e=t とおくと
x:01 のとき,t: le
また,
dt
dx
より
-= e より dt=edx
f(t+1)2d=113 (t+1)=1/13
(e+1)3-8
=
3
{(e+1)-2%}
無理に展開する必要はない
(別解)(+1)をひとまとめと考えると,その微分は…)
S(e+1)(e+1)'
f(e*+1)*(e" + 1) dr={(e+1)]=(e+1"-8
dx
Site において 1ef=t とおくと
x-10 のとき, t:1+e→2
dt
また、 dx
dt
e-x
1
= 1 -t より
dx
dt
1-t
=dx