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積や累乗の形の関数の微分
本来は数学Ⅲの内容であるが,知っておくと計算に便利な公式を紹介しょう。
1_{f(x)g(x)}=f(x)g(x)+f(x)g'(x)
2
一般に ({f(x)}")'=n{f(x)}"-1f'(x)
nが自然数のとき { (ax+b)"}'=n(ax+b)"-1 (ax+b)' (a,6は定数
一積の導関数の公式とよばれる。
www
証明 1 F(x)=f(x)g(x) とおくと, 導関数の定義から
F'(x)=lim
f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)
h
h-0
h→0
HARD TYPE
ERASER
=lim
h→0
=lim
h→0
-=lim
F(x+h)-F(x).
h
f(x+h)g(x+h)—f(x)g(x+h)+f(x)g(x+h)—f(x)g(x
f(x+h)-f(x).
•g(x+h)+f(x)•-
(x). g(x + h) = g(x) |
lim
ho
h
f(x+h)-f(x).
h
=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
-=f(x) が使えるように式を変形する。
2_{(ax+b)*}=n(ax+b)"-1(ax+b)'
「数列」 参照) を利用して証明する。
[1] n=1 のとき
(左辺)=(ax+b)'=a,
-(-)---0
・Aとし,数学的帰納法 (数学B
(右辺)=1(ax+b)(ax+b)=a
ゆえに, n=1のとき,等式 Aは成り立つ。
[2]n=k のとき,等式が成り立つ、すなわち
{(ax+b)"}=k(ax+b)-1 (ax+b)'=ak(ax+b)-1
が成り立つと仮定する。 n=k+1 のときについて
{(ax+b)+1}={(ax+b)(ax+b)}'
ktlはどこへ?
*
......
={(ax+b)"}(ax+b)+(ax+b)(ax+b)-1から
m
=ak(ax+b)-(ax+b)+(ax+b)・α
=ak(ax+b)+a(ax+b)
=a(ax+b)(k+1)
=(k+1)(ax+b)(k+1)-1 (ax+b)'
よって, n=k+1 のときも等式 A は成り立つ。
[1], [2] から, すべての自然数nについて等式 A は成り立つ。
t ←B から。
注意2の公式を利用するときは、右のx+b)"}=n(ax+b)" (ax + by
の部分を掛け忘れないように
~2
注意が必要である。
忘れないように注意
上の公式 1,2を利用して,次の補充例題178 を解いてみよう。
やってみよう!!!!
PF
かり
P
(L
(3
補充 例題 178
ONOWE
18の公式を
=(2x-
=
=(2x-
RT &
影の関数
解
(1)
(2)
