-
![]()
-
![]()
大一 後)
Cy
で
D
歌
の最大値を求めよ. ただし, αは負の定数とする.
3/11
142 変数関数/1文字固定法
x0,y,x+y≦2を同時に満たすx,yに対し,
z=2xy+ax+4y
xy
では
な
y t
のハ
(東京経済大, 改題)
2-
例題12や13のときと違い, 本間では2変数の間には等式の関係はない!
1文字固定法
こういう本格的な2変数関数を扱うときの原則は,
とりあえず, 2変数のうちの1変数を固定してしまう (定数とする)
という考え方である。仮に、が整数だとして本間を考えると, yは0.1.2の値を取る.そこで,
= 0, 1, 2 のそれぞれの場合について、この1変数関数であるぇの最大値をそれぞれM. M1,M2 とす
ると, 求める最大値は,
Mo, M1, M2 のうちの最大のもの
であることは明らかであろう.例えば,日本を3ブロックに分けたときのそれぞれの優勝者をMo, Mi,
M2 とすると,日本一の者はこの3人の中にいるはずということである。
Mo, M, M はいわばブロック予選の勝者で,そういう勝者を集めておこなった決勝戦の勝者こそ
真のチャンピオンであるということである。
とりあえず1文字を固定する」というのは数学の重要な考え方の1つなので,きちんと身につけて
おこう
解答
y≧x+y=2により, x2である。よってェの範囲は,0≦x≦2... ①
とりあえずを固定すると, z=2ty+α+4y. これをyの1次関数と見て,
2=(2t+4)y+at (0≤ y ≤2-t).
ェを定数にする。 (zを定数とす
る)
す。
・☆
2+40により,これは増加関数であるから, xをtに固定したときのzの最
大値は, y=2-tのときの
(2t+4) (2-t)+at=-2124 at +8
・・②
, 前
程式
である.ここで, t を動かす. すなわち, ②をtの関数と見なす. ①によりtの
定義域は 0≦t≦2 であり, この範囲では, α <0 により ② は減少関数であるから,
t=0で最大値8をとる. 以上により, 求める最大値は8である.
②はブロック予選の優勝者 (たと
「ェ=1ブロック」の優勝者
えば
はα+6である)
at はともに減少関数 (グ
212,
ラフを考えれば明らか).
注 上の解答の流れをもう一度説明しよう.
b.
x0,y,x+y≦2 を満たす点 (x, y) は右図
網目部上にある. P(x, y) がこの網目部を動くと
きのzの最大値を求めればよい。ここまではOK。
とりあえずを固定 (右図では =tに固定) す
ると,点Pは右図の太線分上田動くと赤のとはどういう
の最大値が②である上図の太線分を≦t2で動なが
かせば、網目部全体を描くので、②を≦t≦2で動
かしたときの最大値が求める値である まとめると、
1° x を tに固定, yの関数と見る.
2
2-t
y=2-x
2 x
x=t
←yが太線分上を動くとき, ☆によ
りはyの増加関数であるから,
y=2t のとき最大となり,その
2°yを動かして最大値をtで表す.
なぜ、~ので、で赤下線が最大値が② である。
いえるのか?
3°2°tの式をtの関数と見て、その最大値を求める .
14 演習題 (解答はp.60)
( 東大文系)
1文字固定法の威力が分
かるはず.
平面内の領域-1≦x≦y1において
1-ar-by-ary
の最小値が正となるような定数 α, bを座標とする点 (a, b) の範囲を図示せよ.
47
